2024年高考数学一轮复习（人教版） 第7章　必刷小题13　立体几何.docx

必刷小题13　立体几何
一、单项选择题
1．如图，用斜二测画法作水平放置的正三角形A1B1C1的直观图，则正确的图形是(　　)
答案　A
解析　以B1C1所在直线为x轴，以B1C1边上的高为y轴建立坐标系，画对应的x′，y′轴，使夹角为45°，画直观图时与x轴平行的线段长度保持不变，与y轴平行的线段长度变为原来的一半，然后去掉辅助线即可得到正三角形的直观图，如图．
2．下列四个命题中，正确的是(　　)
A．各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱
B．对角面是全等矩形的六面体一定是长方体
C．有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱
D．长方体一定是直四棱柱
答案　D
解析　对于A，底面是菱形的直平行六面体，满足条件但不是正棱柱；对于B，底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体；C显然错误；长方体一定是直四棱柱，D正确．
3．从平面外一点P引与平面相交的直线，使P点与交点的距离等于1，则满足条件的直线可能有(　　)
A．0条或1条 B．0条或无数条
C．1条或2条 D．0条或1条或无数条
答案　D
解析　当点P到平面的距离大于1时，没有满足条件的直线；当点P到平面的距离等于1时，满足条件的直线只有1条；当点P到平面的距离小于1时，满足条件的直线有无数条．
4．已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列命题中正确的是(　　)
A．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β
B．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥β
C．若α⊥β，m⊥α，m⊥n，则n∥β
D．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β
答案　A
解析　对于A，由m∥α，m∥n，得到：
若n∥α，过n的平面γ∩α＝l，则n∥l，
又n⊥β，则l⊥β，l⊂α，则α⊥β，
若n⊂α，又n⊥β，则α⊥β.综上，α⊥β，故A正确；
对于B，若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α与β相交或平行，故B错误；
对于C，若α⊥β，m⊥α，m⊥n，则n与β相交、平行或n⊂β，故C错误；
对于D，若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n与β相交或n⊂β，故D错误．
5．已知直线a，b，l和平面α，β，a⊂α，b⊂β，α∩β＝l，且α⊥β.对于以下命题，判断正确的是(　　)
①若a，b异面，则a，b至少有一个与l相交；
②若a，b垂直，则a，b至少有一个与l垂直．
A．①是真命题，②是假命题
B．①是假命题，②是真命题
C．①是假命题，②是假命题
D．①是真命题，②是真命题
答案　D
解析　对于①，若a，b都不与l相交，
则只有一种可能，即a，b均平行于l，则a∥b，
∴若a，b异面，则a，b至少有一个与l相交，故①正确；
对于②，根据面面垂直的性质定理得：
若a，b垂直，则a⊥β，或b⊥α，故a，b至少有一个与l垂直，故②正确．
6．(2023·徐州模拟)圆柱形玻璃杯中盛有高度为10 cm的水，若放入一个玻璃球(球的半径与圆柱形玻璃杯内壁的底面半径相同)后，水恰好淹没了玻璃球，则玻璃球的半径为(　　)
A. cm B．15 cm C．10 cm D．20 cm
答案　B
解析　根据题意，玻璃球的体积等于放入玻璃球后水柱的体积减去原来水柱的体积；
设玻璃球的半径为r，即圆柱形玻璃杯的底面半径