2024年高考数学一轮复习（人教版） 第10章　§10.6　离散型随机变量及其分布列、数字特征.docx

§10.6　离散型随机变量及其分布列、数字特征
考试要求　1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.理解并会求离散型随机变量的数字特征．
知识梳理
1．离散型随机变量
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量．
2．离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．
3．离散型随机变量分布列的性质
(1)pi≥0，i＝1,2，…，n；
(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.
4．离散型随机变量的均值(数学期望)与方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
(1)均值(数学期望)
称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝ipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．它反映了随机变量取值的平均水平．
(2)方差
称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度．
5．均值(数学期望)与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．
常用结论
1．E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数．
2．E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．
3．D(X)＝E(X2)－(E(X))2.
4．若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(　×　)
(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(　√　)
(3)如果随机变量X的分布列由下表给出，
X
2
5
P
0.3
0.7
则它服从两点分布．(　×　)
(4)方差或标准差越小，则随机变量的偏离程度越小．(　√　)
教材改编题
1．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，则{ξ＝3}表示(　　)
A．甲赢三局
B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局二次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
答案　D
解析　因为甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，
故{ξ＝3}表示两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．
2．已知X的分布列为
X
－1
0
1
P
设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为(　　)
A. B．4 C．－1 D．1
答案　A
解析　E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－，
E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋3＝.
3．若离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
P
则X的方差D(X)＝________.
答案　
解析　由＋＝1，得a＝1或a＝－2(舍去)．
∴X的分布列为
X
0
1
P
∴E(X)＝0×＋1×＝，
则D(X)＝2×＋2×＝.
题型一　分布列的性质
例1　(1)若随机变量X的分布列为
X
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
则当P(X<a)＝0.8时，实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2] B．[1,2]
C．(1,2] D．(1,2)
答案　C
解析　由随机变量X的分布列知，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，故当P(X<a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1,2]．
(2)(2022·桂林模拟)若随机变量X的分布列为
X
－1
0
1
P
a
c
则P(|X|＝1)等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由随机变量X的分布列得
P(|X|＝1)＝P(X＝－1)＋P(X＝1)
＝a＋c＝1－＝.
思维升华　离散型随机变量分布列的性质的应用
(1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值．
(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率．
(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．
跟踪训练1　(1)设X是一个离散型随机变量，其分布列为
X
－1
0
1