人教版高中数学6.4 求和方法（精练）（提升版）（解析版）.docx

6.4 求和方法（精练）（提升版）
题组一 公式法求和
1．（2022·黑龙江）已知等差数列满足a1+a2＝4，a4+a5+a6＝27．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和Sn．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意，设等差数列的公差为d，
则∴，∴．
（2），∴，
∵，又，∴数列为等比数列，且首项为2，公比为4，
∴．
2．（2021·四川攀枝花市）在公差不为零的等差数列中，，且成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设等差数列的公差为，由已知得，
则，
将代入并化简得，解得或(舍去).
所以.
（2）由（1）知，所以，
所以，即数列是首项为，公比为的等比数列.
所以.
3．（2022·全国·高三专题练****已知各项为正数的等差数列的前项和为，，且，，成等比数列.
(1)求；
(2)若，求的前项和.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)设等差数列的公差为，
由，且，，成等比数列可得，
解得，，
所以.
(2)由可得，
所以，
所以
.
题组二 裂项相消求和
1．（2022·江苏江苏·一模）已知数列，，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，求证：.
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】(1)解：因为，
所有，
当时，，，……，，
相加得，所以，
当时，也符合上式，
所以数列的通项公式；
(2)证明：由（1）得，
所以，
所以，
．
所以．
2．（2022·浙江台州·二模）在数列中，，且对任意的正整数，都有.
(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析，(2)
【解析】(1)解：（1）由，得.
又因为，所以数列是以2为首项，为公比的等比数列.
故，即.
(2)由，
故
，
故
．
3．（2022·广东·广州市第四中学高三阶段练****已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求证：．
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】(1)因为数列满足， 所以，所以，
所以数列是首项为，公比为2的等比数列，则有，.
(2)，
所以，
因为，所以.
4．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高三阶段练****已知数列的前项和，且．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】(1)当时，由，得或，
∵，∴，
由，得
当时，
由，得，
整理得，
∵，∴≠0，∴，
∴数列是首项为，公差为的等差数列；
(2)由（1）得，
，
∴．
5．（2022·陕西·模拟预测（理））已知正项等比数列的前n项和为，且，数列满足．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)记为数列的前n项和，证明：．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】(1)设等比数列的公比为，因为，
故，解得或（舍），故，，
因为，故，
又，
故数列是公差为的等差数列.
(2)因为，
故，
又是单调增函数，且，
又当时，，故，即证.
6．（2022·安徽安庆·二模）已知数列的前n项和为，且满足，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前n项和.
【答案】(1)，(2)
【解析】(1)解：时，，解得.
当时，，故，
所以，
故.
符合上式
故的通项公式为，.
(2)解：结合（1）得
，
所以
.
题组三 错位相减求和
1．（2022·广东·模拟预测）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：已知数列的前n和为，若，且 ，求数列的前n项和．
【答案】选①，；选②，；选③，.
【解析】选①：当n≥2时，因为，
所以，
上面两式相减得．
当n＝1时，，满足上式，所以．
因为，
所以，
上面两式相减，得：，
所以．
选②：当时，因为，所以，
上面两式相减得，即，经检验，，
所以是公比为－1的等比数列，．
因为，
所以．
选③：由，
得：，
由累加法得：．
又，所以．
因为，
所以，
上面两式相减得，
所以．
2．（2022·广东肇庆·二模）已知数列满足，.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)证明见解析(2)