人教版高中数学7.7 空间几何的外接球（精讲）（基础版）（解析版）.docx

7.7 空间几何的外接球（精讲）（基础版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 汉堡模型
【例1】（2022·全国·高三专题练****已知三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为______．
【答案】
【解析】如下图所示：
圆柱的底面圆直径为，母线长为，则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相等，
则为圆柱的外接球球心，球的半径为，
可将三棱锥置于圆柱内，使得圆为的外接圆，如下图所示：
由正弦定理可知圆的直径为，
所以，三棱锥外接球的半径，
因此，三棱锥外接球的表面积为.故答案为：.
【一隅三反】
1（2023·全国·高三专题练****已知在三棱锥P－ABC中，PA＝4，，PB＝PC＝3，平面PBC，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积是________.
【答案】
【解析】在等腰中，易知，所以，的外接圆的半径为，所以三棱锥P－ABC的外接球的半径为.
所以其表面积为.
故答案为：
2．（2022·青海玉树·高三阶段练****文））已知直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，则此球的表面积为_________．
【答案】
【解析】设的外心分别为 ,连接，可知外接球的球心为的中点，连接
在，由正弦定理可得的外接圆的半径 ,在直角三角形 中，外接球的半径 ,所以外接球的表面积为
故答案为：
3．（2022·重庆八中模拟预测）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，三棱锥为一个鳖臑，其中平面，，，，M为垂足，则三棱锥的外接球的表面积为________．
【答案】
【解析】取AC的中点O，连接MO、BO，则，，所以，
则，
又，所以，所以点O就是三棱锥的外接球的球心，所以三棱锥的外接球的球半径为，
所以三棱锥的外接球的表面积为，
故答案为：．
考点二 墙角模型
【例2-1】（2022·全国·高三专题练****已知正方体外接球的体积是，那么正方体的体对角线等于（       ）
A． B．4 C． D．.
【答案】B
【解析】正方体外接球的直径即为正方体的体对角线，设外接球的半径为，
则，解得，所以正方体的体对角线等于；故选：B
【例2-2】（2022·全国·高三专题练****已知四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是矩形，，若四棱锥P-ABCD外接球的表面积为，则四棱锥P-ABCD的体积为（       ）
A．3 B．2 C． D．1
【答案】D
【解析】设四棱锥P-ABCD外接球的半径为R，则，即．
由题意，易知，得，
设，得，解得，
所以四棱锥P-ABCD的体积为．故选：D
【一隅三反】
1．（2022·河北保定·二模）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑P-ABC中，AB⊥BC，PA⊥平面ABC，且，则鳖臑P-ABC外接球的体积是___________.
【答案】
【解析】由题意可得三角形ABC外接圆的半径，
因为PA⊥平面ABC，
所以鳖臑P-ABC外接球的半径，
故鳖臑P-ABC外接球的体积是.
故答案为：
2．（2022·黑龙江）长方体的长、宽、高分别为2，2，1，其顶点都在球的球面上，则球的表面积为______.
【答案】
【解析】因为长方体的外接球的直径为长方体的体对角线，长方体的长、宽、高分别为2，2，1，
所以长方体的外接球的直径，
故长方体的外接球的半径为，
所以球的表面积为.故答案为：
3．（2022·贵溪市）棱长为的正四面体的外接球体积为___________.
【答案】
【解析】如图，棱长为的正四面体可以嵌入到棱长为的立方体中，所以正四面体的外接球与所嵌入的立方体的外接球相同.
设立方体的外接球半径为，则，
所以立方体外接球的体积.
故正四面体的外接球体积为.
故答案为：
考点三 斗笠模型
【例3】（2022·黑龙江）某圆锥的侧面展开后，是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积与它的外接球的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设圆锥的母线长为，则展开后扇形的弧长为，
再设圆锥的底面圆半径为，可得，即，
圆锥的高为，
设圆锥外接球的半径为，则，解得．
圆锥的体积为，
圆锥外接球的体积，
∴该圆锥的体积与它的外接球的体积之比为．故选：C．
【一隅三反】
1．（2022.济南）已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上，圆锥的母线长为3，侧面展开图