人教版高中数学8.3 分布列（精讲）（提升版）（解析版）.docx

8.3 分布列（精讲）（提升版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 超几何分布
【例1】（2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练****某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A，B两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市n（）个人数超过1000人的大集团和4个人数低于200人的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是小集团的概率为.
(1)在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为大集团的概率；
(2)若一次抽取3个集团，假设取出小集团的个数为X，求X的分布列和期望.
【答案】(1)(2)X的分布列见解析，
【解析】（1）由题意知共有个集团，取出2个集团的方法总数是，其中全是小集团的情况有，故全是小集团的概率是，
整理得到即，解得．
若2个全是大集团，共有种情况；
若2个全是小集团，共有种情况；
故在取出的2个集团是同一类集团的情况下，全为大集团的概率为．
（2）由题意知，随机变量的可能取值为，
计算，，
，，
故的分布列为：

0
1
2
3

数学期望为．
【一隅三反】
1．（2022·黑龙江哈尔滨·高三开学考试）中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，作为国家战略性空间基础设施，我国北斗卫星导航系统不仅对国防安全意义重大，而且在民用领域的精准化应用也越来越广泛.2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射标志着拥有全部知识产权的北斗卫星导航系统全面建成．据统计，2019年卫星导航与位置服务产业总产值达到亿元，较2018年约增长．从全球应用北斗卫星的城市中选取了个城市进行调研，上图是这个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值（单位：万元）的频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，求产值小于万元的调研城市个数；
(2)在上述抽取的个城市中任取个，设为产值不超过万元的城市个数，求的分布列及期望和方差．
(3)把频率视为概率，从全球应用北斗卫星的城市中任取个城市，求恰有个城市的产值超过万元的概率．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【解析】（1）由频率分布直方图可知产值小于万元的频率为，
所以产值小于万元的调研城市个数为（个）；
（2）由（1）得产值不超过万元的调研城市有个，超过万元的调研城市有（个），
所以随机变量的取值可能为，，，
所以，，，
所以可得分布列
期望；
方差；
（3）由频率分布直方图可知城市的产值超过万元的概率为，
设任取个城市中城市的产值超过万元的城市个数为，
可知随机变量满足，
所以.
2．（2022·全国·高三专题练****理））高二年级某班学生在数学校本课程选课过程中，已知第一小组与第二小组各有六位同学.每位同学都只选了一个科目，第一小组选《数学运算》的有1人，选《数学解题思想与方法》的有5人，第二小组选《数学运算》的有2人，选《数学解题思想与方法》的有4人，现从第一、第二两小组各任选2人分析选课情况.
(1)求选出的4 人均选《数学解题思想与方法》的概率；
(2)设为选出的4个人中选《数学运算》的人数，求的分布列和数学期望．
【答案】(1)(2)分布列见解析，期望为
【解析】(1)解：设“从第一小组选出的2人选《数学解题思想与方法》”为事件，“从第二小组选出的2人选《数学解题思想与方法》”为事件,
由于事 件、相互独立，且，
所以选出的4人均选《数学解题思想与方法》的概率为.
(2)解：由题意，随机变量可能的取值为0，1，2，3，
可得，，
，，
所以随机变量的分布列为：
0
1
2
3
P
所以随机变量的数学期望 .
考点二 二项分布
【例2】（2022·商丘模拟）大力开展体育运动，增强学生体质，是学校教育的重要目标之一．某校组织全校学生进行立定跳远训练，为了解训练的效果，从该校男生中随机抽出100人进行立定跳远达标测试，测试结果（单位：米）均在 内，整理数据得到如下频率分布直方图．学校规定男生立定跳远2.05米及以上为达标，否则为不达标．
（1）若男生立定跳远的达标率低于60%，该校男生还需加强立定跳远训练．请你通过计算，判断该校男学生是否还需加强立定跳远训练；
（2）为提高学生的达标率，该校决定加强训练，经过一段时间训练后，该校男生立定跳远的距离 （单位：米）近似服从正态分布 ，且 ．再从该校任选3名男生进行测试，X表示这3人中立定跳远