人教版高中数学第4讲 实际问题中的空间几何体（教师版）.docx

第四讲 实际问题中的空间几何体
真题展示
2022新高考一卷第四题
南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为　　
A． B． C． D．
【思路分析】先统一单位，再根据题意结合棱台的体积公式求解即可．
【解析】【解法一】(统一m)，，
根据题意，增加的水量约为
．故选：．
【解法二】 (统一km)：
V棱台=13×(140+180+)×(0.1575−0.1485)=0.03(320+60)≈1.437 km3≈1.4×109 m3。
【试题分析】
棱台的概念及棱台体积的计算是高中数学的必备知识.
考查目标
试题巧妙地将增加的水量的计算问题转化为棱台体积的计算问题，体现了数学的应用性，有效考查了学生数学应用方面的学科素养，同时很好地考查了考生的化归与转化、运算求解及数学建模等方面的能力.
水库的蓄水量有多大？这是一个很有价值的实际问题.如果将水库看成一个几何体，那么问题就转化为求一个几何体体积的计算问题.试题巧妙地将一个实际问题与数学问题结合起来，通过设置生活实践情境编制棱台体积的计算问题，既考查了考生对必备知识的掌握及运算求解能力，也考查了考生的数学应用能力和创新能力．考生通过对试题的作答，既能有考试的获得感，又能进一步提高学****数学的兴趣.同时，试题对中学教学改革具有积极的引导作用.
试题亮点
试题通过创设生活实践情境，创造性地将一个实际问题转化为一个纯粹的数学问题. 试题考查的知识是中学数学的必备知识，设计的问题具有现实意义，体现了较好的创新性和开放性，有诸多亮点.
（1）试题情境为大家所熟悉，设计的问题自然，问题的解决能很好地体现数学的应用价值. 试题有效地考查考生对必备知识的掌握程度，考查考生的运算求解、应用创新等关键能力.
（2）水库蓄水量的计算问题是一个具有重要意义的实际问题，试题巧妙地将此问题抽象成一个棱台体积的计算问题，具有很好的创新性. 题目中蕴含了数学抽象、数学建模等丰富的数学思想. 试题对考生从数学角度发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力提出了较高要求. 考生在作答过程中能够深入体会到数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验的重要意义.
（3）南水北调工程是我国一项具有战略意义的伟大工程，体现了社会主义新时代的建设成就. 考生通过作答。能进一步增强爱党、爱国的热忱. 试题很好地体现了新时代高考改革的精神，真正实现了高考"立德树人、服务选才、引导教学"的核心功能.
知识要点整理
一、棱柱、棱锥、棱台的表面积
图形
表面积
多面体
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和，也就是展开图的面积
二、　棱柱、棱锥、棱台的体积
几何体
体积
说明
棱柱
V棱柱＝Sh
S为棱柱的底面积，h为棱柱的高
棱锥
V棱锥＝Sh
S为棱锥的底面积，h为棱锥的高
棱台
V棱台＝(S′＋＋S)h
S′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高
三　圆柱、圆锥、圆台的表面积
图形
表面积公式
旋转体
圆柱
底面积：S底＝2πr2
侧面积：S侧＝2πrl
表面积：S＝2πr(r＋l)
圆锥
底面积：S底＝πr2
侧面积：S侧＝πrl
表面积：S＝πr(r＋l)
圆台
上底面面积：S上底＝πr′2
下底面面积：S下底＝πr2
侧面积：S侧＝π(r′l＋rl)
表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
四　圆柱、圆锥、圆台的体积
几何体
体积
说明
圆柱
V圆柱＝Sh＝πr2h
圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h
圆锥
V圆锥＝Sh＝πr2h
圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h
圆台
V圆台＝(S＋＋S′)h＝π(r2＋rr′＋r′2)h
圆台上底面圆的半径为r′，面积为S′，下底面圆的半径为r，面积为S，高为h
五　球的表面积和体积公式
1．球的表面积公式S＝4πR2(R为球的半径)．
2．球的体积公式V＝πR3.
三年真题
1．如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（    ）
A．23 B．24 C．26 D．27
【答案】D
【详解】该几何体由直三棱柱及直三棱柱组成，作于M，如图，
因为，所以，
因为重叠后的底面为正方形，所以,
在直棱柱中，平面BHC，则,