人教版高中数学6 第6讲　空间向量及其运算 新题培优练.doc

[基础题组练]
1.已知三棱锥O­ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则等于(　　)
A.(b＋c－a)
B.(a＋b＋c)
C.(a－b＋c)
D.(c－a－b)
解析：选D.＝＋＋＝(c－a－b)．
2．已知a＝(2，1，－3)，b＝(－1，2，3)，c＝(7，6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝(　　)
A．9　　　　　　　　　　 B．－9
C．－3 D．3
解析：选B.由题意知c＝xa＋yb，即(7，6，λ)＝x(2，1，－3)＋y(－1，2，3)，所以解得λ＝－9.
3．在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．不确定
解析：选B.如图，令＝a，＝b，＝c，
则·＋·＋·＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.
4.如图，在大小为45°的二面角A­EF­D中，四边形ABFE，四边形CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是(　　)
A. B.
C．1 D.
解析：选D.因为＝＋＋，所以||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1－
＝3－，所以||＝.
5．已知A(1，0，0)，B(0，－1，1)，O为坐标原点，＋λ与的夹角为120°，则λ的值为(　　)
A．± B.
C．－ D．±
解析：选C.＋λ＝(1，－λ，λ)，cos 120°＝＝－，得λ＝±.经检验λ＝不合题意，舍去，所以λ＝－.
6.如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，O为AC的中点．用，，表示，则＝________．
解析：因为＝
＝(＋)，
所以＝＋＝(＋)＋＝＋＋.
答案：＋＋
7.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是CD，PC的中点，并且PA＝AD＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，则MN＝________．
解析：连接PD，因为M，N分别为CD，PC的中点，所以MN＝PD，又P(0，0，1)，D(0，1，0)，
所以PD＝＝，所以MN＝.
答案：
8.如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为________．
解析：设＝a，＝b，＝c，
由已知条件得〈a，b〉＝〈a，c〉＝，且|b|＝|c|，
·＝a·(c－b)＝a·c－a·b
＝|a||c|－|a||b|＝0，
所以⊥，
所以cos〈，〉＝0.
答案：0
9．如图，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，E，F，G分别是A1D1，D1D，D1C1的中点．
(1)试用向量，，表示；
(2)用向量方法证明平面EFG∥平面AB1C.
解：(1)设＝a，＝b，＝c.
由图得＝＋＋
＝c＋b＋
＝a＋b＋c
＝＋＋.
(2)证明：由题图，得＝＋＝a＋b，
＝＋＝b＋a＝，
因为EG与AC无公共点，
所以EG∥AC，因为EG⊄平面AB1C，AC⊂平面AB1C，
所以EG∥平面AB1C.
又因为＝＋＝a＋c，
＝＋＝c＋a＝，
因为FG与AB1无公共点，所以FG∥AB1，
因为FG⊄