人教版高中数学6 第6讲　指数与指数函数.doc

第6讲　指数与指数函数
最新考纲
考向预测
1.了解指数函数模型的实际背景．
2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．
4．知道指数函数是一类重要的函数模型．
命题
趋势
在指数函数中，比较大小、与其他知识结合考查指数型函数图象的识别与应用以及指数型函数单调性的应用是考查的热点，题型一般为选择、填空题，中档难度.
核心
素养
数学运算、直观想象
1．根式
(1)根式的概念
①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
②a的n次方根的表示：
xn＝a⇒
(2)根式的性质
①()n＝a(n∈N*，且n>1)．
②＝
2．有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
②负分数指数幂：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．
(2)有理数指数幂的运算性质
①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
②＝ar－s(a>0，r，s∈Q)；
③(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
④(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
3．指数函数的图象与性质
y＝ax
(a>0且
a≠1)
a>1
0<a<1
图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0，1)
当x>0时，y>1；
当x<0时，0<y<1
当x>0时，0<y<1；
当x<0时，y>1
在R上是增函数
在R上是减函数
常用结论
指数函数图象的特点
(1)指数函数的图象恒过点(0，1)，(1，a)，，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象．
(2)函数y＝ax与y＝(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．
(3)指数函数y＝ax与y＝bx的图象特征：在第一象限内，图象越高，底数越大；在第二象限内，图象越高，底数越小．
常见误区
解决与指数函数有关的问题时，若底数不确定，应注意对a>1及0<a<1进行分类讨论
．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)＝()n＝a.(　　)
(2)(－1)＝(－1)＝.(　　)
(3)函数y＝a－x是R上的增函数．(　　)
(4)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．(　　)
(5)函数y＝2x－1是指数函数．(　　)
(6)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)×
2．化简(x<0，y<0)得(　　)
A．2x2y　　　　　　　　　 B．2xy
C．4x2y D．－2x2y
解析：选D.因为x<0，y<0，
所以＝(16x8·y4)＝(16)·(x8)·(y4)＝2x2|y|＝－2x2y.
3．已知当x>0时，函数f(x)＝(3a－2)x的值总大于1，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．
解析：选C.根据指数函数性质知3a－2>1，解得a>1.故选C.
4．(易错题)若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点P，则f(－1)＝________．
解析：由题意知＝a2，所以a＝，
所以f(x)＝，所以f(－1)＝＝.
答案：
5．(易错题)已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[1，2]上的最大值比最小值大，则实数a的值为________．
解析：当0<a<1时，a－a2＝，
所以a＝或a＝0(舍去)．
当a>1时，a2－a＝，
所以a＝或a＝0(舍去)．
综上所述，a＝或a＝.
答案：或
　　　　　　指数幂的化简与求值
[题组练透]
1．若实数a>0，则下列等式成立的是(　　)
A．(－2)－2＝4　　　　　　 B．2a－3＝
C．(－2)0＝－1 D．(a－)4＝
解析：选D.对于A，(－2)－2＝，故A错误；对于B，2a－3＝，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C错误；对于D，(a－)4＝.
2．计算：－＋＋(0.002) ＝________．
解析：原式＝－＋＋
＝－＋＋10＝10.
答案：10
3．已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，则f(2a)＝________．
解析：由f(a)＝3得2a＋2－a＝3，
所以(2a＋2－a)2＝9，即22a＋2－2a＋2＝9.
所以22a＋2－2a＝7，故f(2a)＝