人教版高中数学7 第7讲　对数与对数函数.doc

第7讲　对数与对数函数
最新考纲
考向预测
1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．
2．理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．
3．知道对数函数是一类重要的函数模型．
4．了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a>0且a≠1).
命题
趋势
对数函数中利用性质比较对数值大小，求对数型函数的定义域、值域、最值等仍是高考考查的热点，题型多以选择、填空题为主，属中档题.
核心
素养
数学运算、直观想象
1．对数
概念
如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式
性质
对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN(a>0，且a≠1)
loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N(a>0且a≠1)
运算
法则
loga(M·N)＝logaM＋logaN
a>0，且a≠1，M>0，N>0
loga＝logaM－logaN
logaMn＝nlogaM(n∈R)
换底
公式
logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)
2.对数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
过定点(1，0)
当x>1时，y>0
当0<x<1时，y<0
当x>1时，y<0
当0<x<1时，y>0
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
3.反函数
指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
常用结论
1．换底公式的三个重要结论
①logab＝；②logambn＝logab；③logab·logbc·logcd＝logad.
2．对数函数图象的特点
(1)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限．
(2)函数y＝logax与y＝logx(a>0且a≠1)的图象关于x轴对称．
(3)在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大．
常见误区
1．在运算性质logaMn＝nlogaM中，要特别注意M>0的条件，当n∈N*，且n为偶数时，在无M>0的条件下应为logaMn＝nloga|M|.
2．研究对数函数问题应注意函数的定义域．
3．解决与对数函数有关的问题时，若底数不确定，应注意对a>1及0<a<1进行分类讨论．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　)
(2)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　　)
(3)函数y＝logax2与函数y＝2logax是相等函数．(　　)
(4)若M>N>0，则logaM>logaN.(　　)
(5)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
2．log29·log34＝(　　)
A．　　　　　　　　　　 B．
C．2 D．4
解析：选D.原式＝log232×log322＝4log23×log32＝4××＝4.
3．函数y＝log2(x＋1)的图象大致是(　　)
解析：选C.函数y＝log2(x＋1)的图象是把函数y＝log2x的图象向左平移一个单位长度得到的，图象过定点(0，0)，函数定义域为(－1，＋∞)，且在(－1，＋∞)上是增函数，故选C.
4．(易错题)函数f(x)＝＋的定义域为________．
解析：由f(x)＝＋，得得x∈(－1，0)∪(0，2]．
答案：(－1，0)∪(0，2]
5．(易错题)函数y＝logax(a>0，a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝________．
解析：分两种情况讨论：①当a>1时，有loga4－loga2＝1，解得a＝2；②
当0<a<1时，有loga2－loga4＝1，解得a＝.所以a＝2或a＝.
答案：2或
　　　　　　对数式的化简与求值
[题组练透]
1．(2020·高考全国卷Ⅰ)设alog34＝2，则4－a＝(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选B.方法一：因为alog34＝2，所以log34a＝2，则有4a＝32＝9，所以4－a＝＝，故选B.
方法二：因为alog34＝2，所以－alo