人教版高中数学9 第8讲　曲线与方程　新题培优练.doc

[基础题组练]
1．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的曲线是(　　)
A．一条直线和一条双曲线
B．两条双曲线
C．两个点
D．以上答案都不对
解析：选C.(x－y)2＋(xy－1)2＝0⇔
故或
2.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，A(1，0)，B(1，1)，C(0，1)，映射f将xOy平面上的点P(x，y)对应到另一个平面直角坐标系uO′v上的点P′(2xy，x2－y2)，则当点P沿着折线A­B­C运动时，在映射f的作用下，动点P′的轨迹是(　　)
解析：选D.当P沿AB运动时，x＝1，设P′(x′，y′)，则(0≤y≤1)，故y′＝1－(0≤x′≤2，0≤y′≤1)．当P沿BC运动时，y＝1，则(0≤x≤1)，所以y′＝－1(0≤x′≤2，－1≤y′≤0)，由此可知P′的轨迹如D项图象所示，故选D.
3．已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N.若2＝λ·，其中λ为常数，则动点M的轨迹不可能是(　　)
A．圆　　　　　　　　　　 B．椭圆
C．抛物线 D．双曲线
解析：选C.以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立坐标系，设M(x，y)，A(－a，0)，B(a，0)，则N(x，0)．
因为2＝λ·，
所以y2＝λ(x＋a)(a－x)，即λx2＋y2＝λa2，
当λ＝1时，轨迹是圆；
当λ>0且λ≠1时，轨迹是椭圆；
当λ<0时，轨迹是双曲线；
当λ＝0时，轨迹是直线．
综上，动点M的轨迹不可能是抛物线．
4．设线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，且|AB|＝5，＝＋，则点M的轨迹方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选A.设M(x，y)，A(x0，0)，B(0，y0)，
由＝＋，得(x，y)＝(x0，0)＋(0，y0)，
则解得
由|AB|＝5，得＋＝25，
化简得＋＝1.
5．设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若＝2，且·＝1，则点P的轨迹方程是(　　)
A.x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)
B.x2－3y2＝1(x＞0，y＞0)
C．3x2－y2＝1(x＞0，y＞0)
D．3x2＋y2＝1(x＞0，y＞0)
解析：选A.设A(a，0)，B(0，b)，a＞0，b＞0.由＝2，得(x，y－b)＝2(a－x，－y)，即a＝x＞0，b＝3y＞0.点Q(－x，y)，故由·＝1，得(－x，y)·(－a，b)＝1，即ax＋by＝1.将a＝x，b＝3y代入ax＋by＝1，得所求的轨迹方程为x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)．
6．在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1，2)与动点P(x，y)满足向量在向量上的投影为－
，则点P的轨迹方程是________．
解析：由＝－，知x＋2y＝－5，即x＋2y＋5＝0.
答案：x＋2y＋5＝0
7．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1，0)，B(2，2)，若点C满足＝＋t(－)，其中t∈R，则点C的轨迹方程是________．
解析：设C(x，y)，则＝(x，y)，＋t(－)＝(1＋t，2t)，所以消去参数t得点C的轨迹方程为