人教版高中数学9 第9讲　函数与方程.doc

第9讲　函数与方程
最新考纲
考向预测
结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.
命题趋势
利用函数零点的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零点进行判断或利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数的范围，是高考的热点，题型以选择、填空题为主，也可和导数等知识交汇出现解答题，中高档难度.
核心素养
直观想象、逻辑推理
1．函数零点
(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
(2)三个等价关系
(3)存在性定理
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数
y＝ax2＋
bx＋c
(a＞0)
的图象
与x轴
的交点
(x1，0)，(x2，0)
(x1，0)
无交点
零点
x1，x2
x1
无
常用结论
有关函数零点的三个结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
常见误区
1．函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
2．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象等综合考虑．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(　　)
(2)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．(　　)
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(　　)
(4)若函数f(x)在(a，b)上连续单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．(易错题)(多选)下列说法中正确的是(　　)
A．函数f(x)＝x＋1的零点为(－1，0)
B．函数f(x)＝x＋1的零点为－1
C．函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点
D．函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标
解析：选BD.根据函数零点的定义，可知f(x)＝x＋1的零点为－1.
函数y＝f(x)的零点，即函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，因此B，D正确，A，C错误．
3．函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致范围是(　　)
A．(1，2)　　　　　　　　　 B．(2，3)
C．和(3，4) D．(4，＋∞)
解析：选B.易知f(x)为增函数，由f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－＞0，得f(2)·f(3)＜0.故选B.
4．已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
y
124.4
33
－74
24.5
－36.7
－123.6
则函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有________个．
解析：依题意，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，根据零点存在性定理可知，f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一个零点，故函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有3个．
答案：3
5．已知函数f(x)＝2ax－a＋3，若∃x0∈(－1，1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是________．
解析：依题意可得f(－1)·f(1)<0，即(－2a－a＋3)(2a－a＋3)<0，解得a<－3或a>1.
答案：(－∞，－3)∪(1，＋∞)
　　　　　　函数零点所在区间的判断
(一题多解)函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为(　　)
A．(0，1)　　　　　　　　　 B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
【解析】　方法一(定理法)：函数f(x)＝log3x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，并且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，图象是一条连续曲线．由题意知f(1)＝－1<0，f(2)＝log32>0，f(3)＝2>0，根据零点存在性定理可知，函数f(x)＝log3x＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1，2)内．
方法二(图象法)：函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝log3x，h