人教版高中数学11 第9讲 第2课时　定点、定值、探索性问题　新题培优练.doc

[基础题组练]
1．已知直线l与双曲线－y2＝1相切于点P，l与双曲线的两条渐近线交于M，N两点，则·的值为(　　)
A．3　　　　　　　　　　　 B．4
C．5 D．与P的位置有关
解析：选A.依题意，设点P(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，其中x－4y＝4，则直线l的方程是－y0y＝1，题中双曲线的两条渐近线方程为y＝±x.
①当y0＝0时，直线l的方程是x＝2或x＝－2.由，得，此时·＝(2，－1)·(2，1)＝4－1＝3，同理可得当直线l的方程是x＝－2时，·＝3.
②当y0≠0时，直线l的方程是y＝(x0x－4)．由，得(4y－x)x2＋8x0x－16＝0(*)，又x－4y＝4，因此(*)即是－4x2＋8x0x－16＝0，x2－2x0x＋4＝0，x1x2＝4，·＝x1x2＋y1y2＝x1x2－x1x2＝x1x2＝3.
综上所述，·＝3，故选A.
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，△ABC的顶点都在抛物线上，且满足＋＋＝0，则＋＋＝________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，F，由＋＝－，得y1＋y2＋y3＝0.因为kAB＝＝，所以kAC＝，kBC＝，所以＋＋＝＋＋＝0.
答案：0
3．(2019·合肥市第二次质量检测)已知抛物线C1：x2＝2py(p＞0)和圆C2：(x＋1)2＋y2＝2，倾斜角为45°的直线l1过C1的焦点，且l1与C2相切．
(1)求p的值；
(2)动点M在C1的准线上，动点A在C1上，若C1在A点处的切线l2交y轴于点B，设＝＋，求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程．
解：(1)依题意，设直线l1的方程为y＝x＋，
因为直线l1与圆C2相切，
所以圆心C2(－1，0)到直线l1：y＝x＋的距离d＝＝，即＝，
解得p＝6或p＝－2(舍去)．所以p＝6.
(2)证明：法一：依题意设M(m，－3)，由(1)知抛物线C1的方程为x2＝12y，所以y＝，所以y′＝，
设A(x1，y1)，则以A为切点的切线l2的斜率为k＝，
所以切线l2的方程为y＝x1(x－x1)＋y1.
令x＝0，则y＝－x＋y1＝－×12y1＋y1＝－y1，即B点的坐标为(0，－y1)，
所以＝(x1－m，y1＋3)，＝(－m，－y1＋3)，
所以＝＋＝(x1－2m，6)，
所以＝＋＝(x1－m，3)，其中O为坐标原点．设N点坐标为(x，y)，则y＝3，所以点N在定直线y＝3上．
法二：设M(m，－3)，由(1)知抛物线C1的方程为x2＝12y，①
设l2的斜率为k，A，则以A为切点的切线l2的方程为y＝k(x－x1)＋x，②
联立①②得，x2＝12[k(x－x1)＋x]，
因为Δ＝144k2－48kx1＋4x＝0，所以k＝，
所以切线l2的方程为y＝x1(x－x1)＋x，
令x＝0，得B点坐标为(0，－x)，
所以＝，＝，
所以＝＋＝(x1－2m，6)，
所以＝＋＝(x1－m，3)，其中O为坐标原点，
设N点坐标为(x，y)，则y＝3，
所以点N在定直线y＝3上．
4．(2019·河北“五个一名校联盟”模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋y2＝1，点P(x1，y1)，Q(x