人教版高中数学第1讲　导数的概念及运算.doc

第1讲　导数的概念及运算
一、选择题
1.设曲线y＝eax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，则a＝(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
解析　∵y＝eax－ln(x＋1)，∴y′＝aeax－，∴当x＝0时，y′＝a－1.∵曲线y＝eax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，∴a－1＝2，即a＝3.故选D.
答案　D
2.若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)等于(　　)
A.2 B.0 C.－2 D.－4
解析　∵f′(x)＝2f′(1)＋2x，∴令x＝1，得f′(1)＝－2，
∴f′(0)＝2f′(1)＝－4.
答案　D
3.(2017·西安质测)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为(　　)
A.(1，3) B.(－1，3)
C.(1，3)和(－1，3) D.(1，－3)
解析　f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y＝2x－1上，故选C.
答案　C
4.(2017·石家庄调研)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为(　　)
A.e B.－e
C. D.－
解析　y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝，设切点为(x0，ln x0)，则y′|x＝x0＝，切线方程为y－ln x0＝(x－x0)，因为切线过点(0，0)，所以－ln x0＝－1，解得x0＝e，故此切线的斜率为.
答案　C
5.(2016·郑州质检)已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝(　　)
A.－1 B.0 C.2 D.4
解析　由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，∴f′(3)＝－，∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0.
答案　B
二、填空题
6.(2015·天津卷)已知函数f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数，若f′(1)＝3，则a的值为________.
解析　f′(x)＝a＝a(1＋ln x)，由于f′(1)＝a(1＋ln 1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3.
答案　3
7.(2016·全国Ⅲ卷)已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________.
解析　设x＞0，则－x＜0，f(－x)＝ln x－3x，又f(x)为偶函数，f(x)＝ln x－3x，
f′(x)＝－3，f′(1)＝－2，切线方程为y＝－2x－1.
答案　2x＋y＋1＝0
8.(2015·陕西卷)设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________.
解析　y′＝ex，曲线y＝ex在点(0，1) 处的切线的斜率k1＝e0＝1