人教版高中数学第1讲　空间几何体的结构、表面积与体积.doc

第1讲　空间几何体的结构、表面积与体积
一、知识梳理
1．空间几何体的结构特征
2．直观图
(1)画法：常用斜二测画法．
(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．
3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r＋r′)l
4.空间几何体的表面积与体积公式
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝S底h
锥体(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝S底h
台体(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝(S上＋S下＋)h
球
S＝4πR2
V＝πR3
常用结论
1.特殊的四棱柱
上述四棱柱有以下集合关系：{正方体}{正四棱柱}{长方体}{直平行六面体}{平行六面体}{四棱柱}．
2．斜二测画法中的“三变”与“三不变”
“三变”
“三不变”
3．正方体与球的切、接常用结论
正方体的棱长为a，球的半径为R，
(1)若球为正方体的外接球，则2R＝a；
(2)若球为正方体的内切球，则2R＝a；
(3)若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.
二、教材衍化
1．在如图所示的几何体中，是棱柱的为________．(填写所有正确的序号)
答案：③⑤
2．已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为________cm.
解析：由题意，得S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r2＝4，所以r＝2(cm)．
答案：2
3.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．
解析：设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积V1＝××a×b×c＝abc，剩下的几何体的体积V2＝abc－abc＝abc，所以V1∶V2＝1∶47.
答案：1∶47
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．(　　)
(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(　　)
(3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台．(　　)
(4)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．(　　)
(5)菱形的直观图仍是菱形．(　　)
(6)多面体的表面积等于各个面的面积之和．(　　)
(7)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．(　　)
(8)长方体既有外接球又有内切球．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√　(7)√　(8)×
二、易错纠偏
(1)对空间几何体的结构特征认识不到位；
(2)锥体的高与底面不清楚致误；
(3)不会分类讨论致误．
1．下列结论中错误的是(　　)
A．由五个面围成的多面体只能是三棱柱
B．正棱台的对角面一定是等腰梯形
C．圆柱侧面上的直线段都是圆柱的母线
D．各个面都是正方形的四棱柱一定是正方体
解析：选A．由五个面围成的多面体可以是四棱锥，所以A选项错误．B，C，D说法均正确．
2．如图，长方体ABCD­A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E­BCD的体积是________．
解析：设长方体中BC＝a，CD＝b，CC1＝c，则abc＝120，
所以VE­BCD＝×ab×c＝abc＝10.
答案：10
3．将一个相邻边长分别为4π，8π的矩形卷成一个圆柱，则这个圆柱的表面积是________．
解析：当底面周长为4π时，底面圆的半径为2，两个底面的面积之和是8π；当底面周长为8π时，底面圆的半径为4，两个底面的面积之和为32π.无论哪种方式，侧面积都是矩形的面积32π2，故所求的表面积是32π2＋8π或32π2＋32π.
答案：32π2＋8π或32π2＋32π
考点一　空间几何体的结构特征(基础型)
利用实物模型认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．
核心素养：数学抽象
1．给出下列几个命题：
①在圆柱的上、下底