人教版高中数学第1讲　平面向量的概念及线性运算.doc

第1讲　平面向量的概念及线性运算
一、知识梳理
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
[注意]　(1)向量不同于数量，向量不仅有大小，而且还有方向．
(2)任意向量a的模都是非负实数，即|a|≥0.
2．向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
|λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；
当λ<0时，λa与 a的方向相反；
当λ＝0时，
λ a＝0
λ(μ a)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μ_a；
λ(a＋b)＝λa＋λb
3.向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa．
常用结论
1．两特殊向量
(1)零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模是确定的，但方向不确定．
(2)非零向量a的同向单位向量为.
2．几个重要结论
(1)若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)．
(2)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.
(3)若G为△ABC的重心，则有
①＋＋＝0；②＝(＋)．
二、教材衍化
1．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且＝a，＝b，则＝________，＝________．(用a，b表示)
解析：如图，＝＝－＝b－a，＝－＝－－＝－a－b.
答案：b－a　－a－b
2．在平行四边形ABCD中，若|＋|＝|－|，则四边形ABCD的形状为________．
解析：如图，因为＋＝，－＝，所以||＝||.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形．
答案：矩形
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．(　　)
(2)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．(　　)
(3)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　　)
(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
二、易错纠偏
(1)对向量共线定理认识不准确；
(2)向量的减法忽视两向量的方向关系致误．
1．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A．若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b.若a∥b，则a＋b＝0不一定成立．故前者是后者的充分不必要条件．
2．点D是△ABC的边AB上的中点，则向量＝(　　)
A．－＋ B．－－
C．－ D．＋
答案：A
考点一　平面向量的有关概念(基础型)
了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示．
核心素养：数学抽象
1．给出下列命题：
①向量的长度与向量的长度相等；
②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；
③|a|＋|b|＝|a＋b|⇔a与b方向相同；
④若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反，则a＋b与a，b之一的方向相同．
其中叙述错误的命题的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C．对于②：当a＝0时，不成立；对于③：当a，b之一为零向量时，不成立；对于④：当a＋b＝0时，a＋b的方向是任意的，它可以与a，b的方向都不相同．故选C．
2．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　)
A．a＝－b B．a∥b
C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
解析：选C．因为向量的方向与向量a相同，向量的方向与向量b相同，且＝，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D．
当a＝2b时，＝＝，故a＝2b是＝成立的充分条件．
3．下列与共线向量有关的命题：
①相反向量就是方向相反的向量；
②a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞b；
③两个向量平行是这两个向量相等的必