人教版高中数学第1讲　直线的倾斜角与斜率、直线方程.doc

第1讲　直线的倾斜角与斜率、直线方程
一、知识梳理
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°．
(3)范围：直线l的倾斜角的范围是[0，π)．
2．直线的斜率
(1)直线l的倾斜角为α≠，则l的斜率k＝tan_α．
(2)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝．
3．直线方程的五种形式
名称
方程形式
适用条件
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
不能表示斜率不存在的直线
斜截式
y＝kx＋b
两点式
＝
不能表示平行于坐标轴的直线
截距式
＋＝1
不能表示平行于坐标轴的直线和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)
可以表示所有类型的直线
常用结论
1．直线的倾斜角和斜率的关系
(1)直线都有倾斜角，但不一定都有斜率．
(2)不是倾斜角越大，斜率k就越大，因为k＝tan α，当α∈时，α越大，斜率k就越大，同样α∈时也是如此，但当α∈[0，π)且α≠时就不是了．
2．识记几种特殊位置的直线方程
(1)x轴：y＝0.
(2)y轴：x＝0.
(3)平行于x轴的直线：y＝b(b≠0)．
(4)平行于y轴的直线：x＝a(a≠0)．
(5)过原点且斜率存在的直线：y＝kx.
二、教材衍化
1．经过点P(2，－3)，倾斜角为45°的直线方程为________．
答案：x－y－5＝0
2．经过点A(－1，0)，B(2，－2)两点的直线方程为________．
答案：2x＋3y＋2＝0
3．若过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为________．
解析：由题意得＝1，解得m＝1.
答案：1
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．(　　)
(2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(　　)
(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(　　)
(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．(　　)
(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
二、易错纠偏
(1)对倾斜角的取值范围不清楚；
(2)忽略截距为0的情况．
1．直线x＋y＋1＝0的倾斜角是(　　)
A． B．
C． D．
解析：选D．由直线的方程得直线的斜率为k＝－，设倾斜角为α，则tan α＝－，所以
α＝.
2．过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________．
解析：当纵、横截距均为0时，直线方程为3x－2y＝0；当纵、横截距均不为0时，设直线方程为＋＝1，则＋＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0.
答案：3x－2y＝0或x＋y－5＝0
考点一　直线的倾斜角与斜率(基础型)
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素．
2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
核心素养：数学抽象，数学运算
(1)直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是(　　)
A． B．∪
C． D．∪
(2)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．
【解析】　(1)设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α.因为sin α∈[－1，1]，所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤或≤θ＜π，故选B．
(2)如图，因为kAP＝＝1，kBP＝＝－，
所以直线l的斜率k∈∪.
【答案】　(1)B
(2)∪
【迁移探究1】　(变条件)若本例(1)的条件变为：直线2xcos α－y－3＝0的倾斜角的变化范围为________．
解析：直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α.由于α∈，所以≤cos α≤，因此k＝2
cos α∈[1，]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，]．由于θ∈[0，π)，所以θ∈，即倾斜角的变化范围是.
答案：
【迁移探究2】　(变条件)若将本例(2)中P(1，0)改为P(－1，0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围．
解：因为P(