人教版高中数学第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理.doc

第1节　分类加法计数原理与分步乘法计数原理
考试要求　1.通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.2.能解决简单的实际问题.
1.分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法.
2.分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法.
3.分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.
分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础，并贯穿其始终.
(1)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类，并且只属于其中一类.
(2)分步乘法计数原理中，各个步骤中的方法相互依存，步与步之间“相互独立，分步完成”.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.(　　)
(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事.(　　)
(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)√
解析　分类加法计数原理，每类方案中的方法都是不同的，每一种方法都能完成这件事；分步乘法计数原理，每步的方法都是不同的，每步的方法只能完成这一步，不能完成这件事，所以(1)不正确.
2.(易错题)现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，则不同选法的种数是(　　)
A.65 B.56 C.30 D.11
答案　B
解析　每一位同学有5种不同的选择，则6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是56.
3.(易错题)从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为(　　)
A.24 B.18 C.12 D.6
答案　B
解析　分两类情况讨论：
第1类，选2时，共有3×2×2＝12(个)奇数；
第2类，选0时，共有3×2×1＝6(个)奇数.
根据分类加法计数原理知，共有12＋6＝18(个)奇数.
4.(2022·衡阳质检)将3张不同的冬奥会门票分给10名同学中的3人，每人1张，不同的分法种数为(　　)
A.720 B.240 C.120 D.60
答案　A
解析　可分三步：第一步，第1张门票有10种不同的分法；第二步，第2张门票有9种不同的分法；第三步，第3张门票有8种不同的分法，由分步乘法计数原理得，共有10×9×8＝720种不同分法.
5.现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有(　　)
A.24种 　　 　 B.30种
C.36种 　　　D.48种
答案　D
解析　需要先给C块着色，有4种结果；再给A块着色，有3种结果；再给B块着色，有2种结果；最后给D块着色，有2种结果，由分步乘法计数原理知共有4×3×2×2＝48(种).
6.(2021·武汉模拟)中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有(　　)
A.30种 B.50种 C.60种 D.90种
答案　B
解析　①若甲选择牛，则乙有2种选择，丙有10种选择，选法有1×2×10＝20种；
②若甲选择马，则乙有3种选择，丙有10种选择，选法有1×3×10＝30种，
所以共有20＋30＝50种选法.
　考点一　分类加法计数原理的应用
1.从甲地到乙地有三种方式可以到达.每天有8班汽车、2班火车和2班飞机.一天一人从甲地去乙地，共有________种不同的方法.
答案　12
解析　分三类：一类是乘汽车，有8种方法；一类是乘火车，有2种方法；一类是乘飞机，有2种方法，由分类加法计数原理知，共有8＋2＋2＝12种方法.
2.如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫作“好数”，那么在由1，2，3，4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________个(用数字