人教版高中数学第1节 函数的概念及其表示.doc

第1节　函数的概念及其表示
考试要求　1.了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域.2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用.
1.函数的概念
概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素
对应关系
y＝f(x)，x∈A
定义域
x的取值范围
值域
与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}
2.同一个函数
(1)前提条件：①定义域相同；②对应关系相同.
(2)结论：这两个函数为同一个函数.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
4.分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数.
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的
并集.
1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点.
2.注意以下几个特殊函数的定义域：
(1)分式型函数，分母不为零的实数集合.
(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合.
(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.
(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}.
(5)正切函数y＝tan x的定义域为.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝1与y＝x0是同一函数.(　　)
(2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.(　　)
(3)若A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的函数.(　　)
(4)若两个函数的定义域与值域分别相同，则这两个函数是同一个函数.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
解析　(1)错误.函数y＝1的定义域为R，而y＝x0的定义域为{x|x≠0}，其定义域不同，故不是同一函数.
(2)错误.值域可以为B的子集.
(3)错误.集合A中的元素0在集合B中无元素与之对应.
(4)错误.只有两个函数的定义域，对应关系分别相同时，这两个函数才是同一个函数.
2.(易错题)下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是(　　)
答案　C
解析　A中的值域不满足，B中的定义域不满足，D项不是函数的图象，由函数的定义可知C正确.
3.(2020·北京卷)函数f(x)＝＋ln x的定义域是__________.
答案　(0，＋∞)
解析　要使函数有意义，需满足
即x＞0且x≠－1，所以函数的定义域为(0，＋∞).
4.(2021·浙江卷)已知a∈R，函数f(x)＝若f(f())＝3，则a＝________.
答案　2
解析　因为>2，所以f()＝6－4＝2，
所以f(f())＝f(2)＝1＋a＝3，解得a＝2.
5.(易错题)已知f()＝x－1，则f(x)＝________.
答案　x2－1(x≥0)
解析　令t＝，则t≥0，故x＝t2，
则f(t)＝t2－1，所以f(x)＝x2－1(x≥0).
6.函数f(x)＝x－在区间[2，4]上的值域为________.
答案　
解析　f(x)＝x－在区间[2，4]上单调递增，
又f(2)＝，f(4)＝，
故f(x)的值域为.
　考点一　函数的概念
1.下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是(　　)
答案　C
解析　根据函数意义：对任意x值，y都有唯一值与之对应，只有C不满足.
2.(多选)下列各组函数是同一函数的为(　　)
A.f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1
B.f(x)＝x－1，g(x)＝
C.f(x)＝，g(x)＝
D.f(x)＝，g(x)＝x
答案　AC
解析　同一函数满足①定义域相同；②对应关系相同，只有A、C满足.
3.已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是________.(填序号)
①f：x→y＝x；②f：x→y＝x；
③f：x→y＝x；④f：x→y＝.
答案　③
解析　③中，f：x→y＝x，x∈[0，4]时，y＝x∈Q,故不满足函数的定义.
感悟提升　（1）函数的定义要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素.