人教版高中数学第1节 平面向量的概念及线性运算.doc

第1节　平面向量的概念及线性运算
考试要求　1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
1.向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量的大小就是向量的长度(或称模)，记作||.
(2)零向量：长度为0的向量，记作0.
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量.
(4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，记作a∥b.规定：0与任一向量平行.
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.
2.向量的线性运算
向量运算
定　义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
三角形法则
(1)交换律：
a＋b＝b＋a.
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
平行四边形法则
减法
求两个向量差的运算
a－b＝a＋(－b)
数乘
规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μa)＝λμa；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
1.中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋).
2.＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.
3.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考虑向量的方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)|a|与|b|是否相等和a，b的方向无关.(　　)
(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.(　　)
(3)向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.(　　)
(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立.(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
解析　(2)若b＝0，则a与c不一定平行.
(3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上.
2.(多选)(2022·威海月考)下列说法正确的是(　　)
A.非零向量a与b同向是a＝b的必要不充分条件
B.若与共线，则A，B，C三点在同一条直线上
C.a与b是非零向量，若a与b同向，则a与－b反向
D.设λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线
答案　ABC
解析　根据向量的有关概念可知ABC正确，对于D，当λ＝μ＝0时，a与b不一定共线，故D错误.
3.(2021·长沙调研)已知点O为△ABC的外接圆的圆心，且＋＋＝0，则△ABC的内角A等于(　　)
A.30° B.45° C.60° D.90°
答案　A
解析　由＋＋＝0，得＋＝，又O为△ABC的外接圆的圆心，
根据加法的几何意义，四边形OACB为菱形，且∠CAO＝60°，因此∠CAB＝30°.
4.(易错题)下列四个命题中，正确的是(　　)
A.若a∥b，则a＝b
B.若|a|＝|b|，则a＝b
C.若|a|＝|b|，则a∥b
D.若a＝b，则|a|＝|b|
答案　D
解析　A中，a∥b，则a＝λb，故A不正确；
B、C中，由于向量a，b的大小相等，但其方向不确定，故B、C都不正确；D显然正确.
5.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　)
A.－ B.－
C.＋ D.＋
答案　A
解析　法一　如图所示，＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－，故选A.
法二　＝－＝－＝－×(＋)＝－，故选A.
6.设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－2a)共线，则λ＝________.
答案　－
解析　由已知2a－b≠0，依题意知向量a＋λb与2a－b共线，设a＋λb＝k(2a－b)，则有(1－2k)a＋(k＋λ)b＝0，因为a，b是两个不共线向量，故a与b均不为零向量，所以解得k＝，λ＝－.
　考点一　平面向量的概念
1.(多选)下列命题中正确的有(　　)
A.平行向量就是共线向量
B.相反向量就是方向相反的向量
C.a与b同向，且|a|＞|b|，