人教版高中数学第1节 直线的方程.doc

第1节　直线的方程
考试要求　1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.
1.直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°；
(3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是{α|0°≤α<180°}.
2.直线的斜率
(1)定义：我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan__α.
(2)计算公式
①经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝.
②设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)是直线l上的两点，则向量＝(x2－x1，y2－y1)以及与它平行的向量都是直线的方向向量.若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝.
3.直线方程的五种形式
名称
几何条件
方程
适用条件
斜截式
纵截距、斜率
y＝kx＋b
与x轴不垂直的直线
点斜式
过一点、斜率
y－y0＝k(x－x0)
两点式
过两点
＝
与两坐标轴均不垂直的直线
截距式
纵、横截距
＋＝1
不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0)
所有直线
1.直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：
α
0
0<α<
<α<π
k
0
k>0
不存在
k<0
2.截距和距离的不同之处
“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.(　　)
(2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(　　)
(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.(　　)
(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)·(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
解析　(1)当直线的倾斜角α1＝135°，α2＝45°时，α1＞α2，但其对应斜率k1＝－1，k2＝1，k1＜k2.
(2)当直线斜率为tan(－45°)时，其倾斜角为135°.
(3)两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等.
2.(易错题)直线xtan 60°＋y－2＝0的倾斜角为(　　)
A.30° B.60° C.120° D.150°
答案　C
解析　设直线倾斜角为α，
∵y＝－xtan 60°＋2，
∴直线的斜率为k＝－tan 60°＝－.
∵0°≤α＜180°，∴α＝120°.
3.(多选)(2022·烟台调研)下列说法正确的是(　　)
A.有的直线斜率不存在
B.若直线l的倾斜角为α，且α≠90°，则它的斜率k＝tan α
C.若直线l的斜率为1，则它的倾斜角为
D.截距可以为负值
答案　ABD
4.(2022·沈阳模拟)直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足(　　)
A.ab＞0，bc＜0 B.ab＞0，bc＞0
C.ab＜0，bc＞0 D.ab＜0，bc＜0
答案　A
解析　由于直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、二、四象限，故斜率小于0，在y轴上的截距大于0，
故故ab＞0，bc＜0.
5.(易错题)经过点(4，1)，且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程为________________.
答案　x－4y＝0或x＋y－5＝0
解析　当直线过原点时，直线方程为y＝x，
即x－4y＝0.
当直线不过原点时，
设直线方程为＋＝1(a≠0)，
代入(4，1)，＋＝1，∴a＝5，
故直线方程是x＋y－5＝0.
6.(2021·上海卷)直线x＝－2与直线x－y＋1＝0的夹角为________.
答案　
解析　由于直线x＝－2的倾斜角为，直线x－y＋1＝0即直线y＝x＋1，其倾斜角为，故夹角为.
　考点一　直线的倾斜角与斜率
例1 (1)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________.
答案　(－∞，－]∪[1，＋∞)
解析　设PA与PB的倾斜角分别为α，β，直线PA的斜率是kAP＝1，直线PB的