人教版高中数学第2讲　参数方程.doc

第2讲　参数方程
1.(2017·合肥调研)在直角坐标系xOy中，曲线C：(α为参数)，在以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l：ρsin θ＋ρcos θ＝m.
(1)若m＝0时，判断直线l与曲线C的位置关系；
(2)若曲线C上存在点P到直线l的距离为，求实数m的取值范围.
解　(1)曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，是一个圆；
直线l的直角坐标方程为x＋y＝0，
圆心C到直线l的距离为d＝＝＝r，
所以直线l与圆C相切.
(2)由已知可得，圆心C到直线l的距离为d＝≤，解得－1≤m≤5.
所以实数m的取值范围为[－1，5].
2.在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为
(θ为参数)，直线l经过点P(1，2)，倾斜角α＝.
(1)写出圆C的普通方程和直线l的参数方程；
(2)设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值.
解　(1)由消去θ，
得圆C的普通方程为x2＋y2＝16.
又直线l过点P(1，2)，且倾斜角α＝.
所以l的参数方程为
即(t为参数).
(2)把直线l的参数方程代入x2＋y2＝16，
得＋＝16，t2＋(＋2)t－11＝0，
所以t1t2＝－11.
由参数方程的几何意义，|PA|·|PB|＝|t1t2|＝11.
3.(2016·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.
(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝，求l的斜率.
解　(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.
(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R).
设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.
于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.
|AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝.
由|AB|＝得cos2α＝，tan α＝±.
所以l的斜率为或－.
4.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线l的参数方程为(t为参数，0＜α＜π)，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ.
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，当α变化时，求|AB|的最小值.
解　(1)由ρsin2θ＝4cos θ得(ρsin θ)2＝4ρcos θ，
∴曲线C的直角坐标方程为y2＝4x.
(2)将直线l的参数方程代入y2＝4x得到t2sin2α－4tcos α－4＝0.
设A，B两点对应的参数分别是t1，t2，
则t1＋t2＝，t1t2＝－.
∴|AB|＝|t1－t2|＝＝≥4，当α＝时取到等号.
∴|AB|min＝4，即|AB|的最小值为4.
5.(2014·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈.
(1)求C的参数方程；
(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(