人教版高中数学第2讲　空间点、直线、平面之间的位置关系.doc

第2讲　空间点、直线、平面之间的位置关系
一、知识梳理
1．四个公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
2．空间直线的位置关系
(1)位置关系的分类
(2)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
②范围：．
[注意]　两直线垂直有两种情况——异面垂直和相交垂直．
(3)等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
(1)空间中直线和平面的位置关系
位置关系
图形表示
符号表示
公共点
直线a在平面α内
a⊂α
有无数个
公共点
直线在
平面外
直线a与平面α平行
a∥α
没有公共点
直线在
平面外
直线a与平面α斜交
a∩α＝A
有且只有一个公共点
直线a与平面α垂直
a⊥α
(2)空间中两个平面的位置关系
位置关系
图形表示
符号表示
公共点
两平面平行
α∥β
没有公共点
两平面相交
斜交
α∩β＝l
有一条公共直线
垂直
α⊥β且α∩β＝a
常用结论
1．公理2的三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；
推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；
推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．
2．异面直线判定的一个定理
过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．
二、教材衍化
1．若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则下列结论成立的是(　　)
A．α内的所有直线与a异面
B．α内不存在与a平行的直线
C．α内存在唯一的直线与a平行
D．α内的直线与a都相交
解析：选B．若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则线面相交，A选项不正确，α内存在直线与a相交；B选项正确，α内的直线与直线a的位置关系是相交或者异面，不可能平行；C选项不正确，因为α内的直线与直线a的位置关系是相交或者异面，不可能平行；D选项不正确，α内只有过直线a与平面的交点的直线与a相交．故选B．
2.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为________．
解析：连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求，又B1D1＝B1C＝D1C，所以
∠D1B1C＝60°.
答案：60°
3．如图，在三棱锥A­BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则
(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；
(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．
解析：(1)因为四边形EFGH为菱形，
所以EF＝EH，故AC＝BD.
(2)因为四边形EFGH为正方形，
所以EF＝EH且EF⊥EH，
因为EFAC，EHBD，
所以AC＝BD且AC⊥BD.
答案：(1)AC＝BD　(2)AC＝BD且AC⊥BD
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若P∈α∩β且l是α，β的交线，则P∈l.(　　)
(2)三点A，B，C确定一个平面．(　　)
(3)若直线a∩b＝A，则直线a与b能够确定一个平面．(　　)
(4)若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，则l⊂α.(　　)
(5)分别在两个平面内的两条直线是异面直线．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×
二、易错纠偏
(1)对异面直线的概念理解有误；
(2)对等角定理条件认识不清致误；
(3)对平面的性质掌握不熟练，应用不灵活．
1．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b(　　)
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线
解析：选C．假设c∥b，又因为c∥a，所以a∥b，这与a，b是异面直线矛盾，故c
与b不可能平行．
2．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是(　　)
A．OB∥O1B1且方向相同 B．OB∥O1B1
C．OB与O1B1不平行 D．OB与