人教版高中数学第2节 排列与组合.doc

第2节　排列与组合
考试要求　1.理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.2.能解决简单的实际问题.
1.排列与组合的概念
名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列
组合
作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
2.排列数与组合数
(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示.
(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示.
3.排列数、组合数的公式及性质
公式
(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝.
(2)C＝＝
＝(n，m∈N*，且m≤n).特别地C＝1
性质
(1)0！＝1；A＝n！.
(2)C＝C；C＝C＋C
1.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏.
2.对于分配问题，一般先分组、再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.(　　)
(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.(　　)
(3)若组合式C＝C，则x＝m成立.(　　)
(4)(n＋1)！－n！＝n·n！.(　　)
(5)kC＝nC.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√
解析　(1)元素相同但顺序不同的排列是不同的排列，故错误；
(2)一个组合中取出的元素不讲究顺序，元素相同即为同一组合，故错误；
(3)若C＝C，则x＝m或n－m，故错误.
2.(2020·新高考山东卷)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有(　　)
A.120种 B.90种 C.60种 D.30种
答案　C
解析　先从6名同学中选1名安排到甲场馆，有C种选法；
再从剩余的5名同学中选2名安排到乙场馆，有C种选法；
最后将剩下的3名同学安排到丙场馆，有C种选法，
由分步乘法计数原理知，共有C·C·C＝60(种)不同的安排方法.
3.(2021·全国乙卷)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有(　　)
A.60种 B.120种 C.240种 D.480种
答案　C
解析　根据题设中的要求，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，可分两步进行安排：
第一步，将5名志愿者分成4组，其中1组2人，其余每组1人，共有C种分法；
第二步：将分好的4组安排到4个项目中，有A种安排方法.
故满足题意的分配方案共有C·A＝240种.
4.(2022·湖南四校联考)周六晚上，小红和爸爸、妈妈、弟弟一起去看电影，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起.为安全起见，每个孩子至少有一侧有家长陪坐，则不同的坐法种数为(　　)
A.8 B.12 C.16 D.20
答案　C
解析　法一　将4个座位编号如下，4人的座位可分四种情况，①④坐家长②③坐孩子、①④坐孩子②③坐家长、①③坐家长②④坐孩子、①③坐孩子②④坐家长，所以不同的坐法种数为4AA＝16.
①
②
③
④
法二　当两个孩子挨着坐且坐在两端时有一个孩子两侧均无家长，所以不同的坐法种数为A－2AA＝16.
5.(易错题)把5张不同的电影票分给4个人，每人至少一张，则不同的分法种数为________.
答案　240
解析　由题意知，其中一人分两张，先分后排，共有CA＝240种不同的分法.
6.(2021·上海卷)某人某天运动的总时长需要大于等于60分钟，现有如下表所示的五项运动可以选择，则共有________种运动组合方式.
A运动
B运动
C运动
D运动
E运动
7点～8点
8点～9点
9点～10点
10点～11点
11点～12点
30分钟
20分钟
40分钟
30分钟
30分钟
答案　23
解析　若使运动总时长大于等于60分钟，则至少要选择两项运动，并且选择两项运动的情况中，AB，DB，EB的组合方式是不符合题意的，选择三项、四项、五项运动均满足总时长大于等于60分钟，因此组合方式共有C＋C＋C＋C－3＝23(种).
　考点一　排列问题