人教版高中数学第3讲　平面向量的数量积及其应用.doc

第3讲　平面向量的数量积及其应用
一、选择题
1.(2016·兰州诊断考试)已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|a－b|＝(　　)
A.0 B.1 C.2 D.
解析　|a－b|＝＝＝＝.
答案　D
2.(2015·陕西卷)对任意平面向量a，b，下列关系式中不恒成立的是(　　)
A.|a·b|≤|a||b| B.|a－b|≤||a|－|b||
C.(a＋b)2＝|a＋b|2 D.(a＋b)·(a－b)＝a2－b2
解析　对于A，由|a·b|＝||a||b|cosa，b|≤|a||b|恒成立；对于B，当a，b均为非零向量且方向相反时不成立；对于C、D容易判断恒成立.故选B.
答案　B
3.已知a＝(1，－2)，b＝(x，2)，且a∥b，则|b|＝(　　)
A.2 B. C.10 D.5
解析　∵a∥b，∴＝，解得x＝－1，∴b＝(－1，2)，∴|b|＝＝.故选B.
答案　B
4.(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2，1)，则·等于(　　)
A.5 B.4 C.3 D.2
解析　∵四边形ABCD为平行四边形，∴＝＋＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1).∴·＝2×3＋(－1)×1＝5，选A.
答案　A
5.(2015·重庆卷)已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为(　　)
A. B. C. D.
解析　因为a⊥(2a＋b)，所以a·(2a＋b)＝0，得到a·b＝－2|a|2，设a与b的夹角为
θ，则cos θ＝＝＝－，又0≤θ≤π，所以θ＝，故选C.
答案　C
二、填空题
6.(2016·全国Ⅰ卷)设向量a＝(x，x＋1)，b＝(1，2)，且a⊥b，则x＝________.
解析　由题意，得a·b＝0⇒x＋2(x＋1)＝0⇒x＝－.
答案　－
7.(2016·北京卷)设a，b是向量.则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的________条件.
解析　|a＋b|＝|a－b|⇔(a＋b)2＝(a－b)2⇔a·b＝0，
∴|a＋b|＝|a－b|⇒/ |a|＝|b|；|a|＝|b|⇒/ a·b＝0，得不到|a＋b|＝|a－b|，
因此“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分又不必要条件.
答案　既不充分也不必要
8.已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，若∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是________.
解析　由已知得＝－＝(3，1)，
＝－＝(2－m，1－m).
若∥，
则有3(1－m)＝2－m，解得m＝.
由题设知，＝(－3，－1)，＝(－1－m，－m).
∵∠ABC为锐角，
∴·＝3＋3m＋m>0，可得m>－.
由题意知，当m＝时，∥，且与同向.
故当∠ABC为锐角时，实数m的取值范围是∪.
答案　∪
三、解答题
9.已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|；
(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积.
解　(1)∵(2a－3b