人教版高中数学第3节 平面向量的数量积及其应用.doc

第3节　平面向量的数量积及其应用
考试要求　1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的长度的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
1.平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos__θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
(3)投影向量
如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量.
设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θ e.
2.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝＝.
(3)夹角：cos θ＝＝.
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·.
3.平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
4.平面几何中的向量方法
三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
1.两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线.
2.平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
3.数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c，两边不能约去同一个向量.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是.(　　)
(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.(　　)
(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.(　　)
(4)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
解析　(1)两个向量夹角的范围是[0，π].
(4)由a·b＝a·c(a≠0)得|a||b|·cos〈a，b〉＝|a||c|·cos〈a，c〉，所以向量b和c不一定相等.
2.(2021·湖州二模)在边长为3的等边三角形ABC中，＝，则·＝(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　∵＝，∴＝，
∴·＝·＝||||cos ＝×3×3×＝.
3.(多选)(2021·青岛统检)已知向量a＋b＝(1，1)，a－b＝(－3，1)，c＝(1，1)，设a，b的夹角为θ，则(　　)
A.|a|＝|b| B.a⊥c
C.b∥c D.θ＝135°
答案　BD
解析　由a＋b＝(1，1)，a－b＝(－3，1)，得a＝(－1，1)，b＝(2，0)，则|a|＝，|b|＝2，故A不正确；
a·c＝－1×1＋1×1＝0，故B正确；
不存在λ∈R，使b＝λc成立，故C不正确；
cos θ＝＝＝－，所以θ＝135°，故D正确.综上知选BD.
4.(2021·衡阳一模)非零向量a，b，c满足a·b＝a·c，a与b的夹角为，|b|＝4，则c在a上的投影向量的长度为(　　)
A.2 B.2 C.3 D.4
答案　B
解析　由a·b＝a·c，
可得|a||b|cos〈a，b〉＝|a||c|cos〈a，c〉，
因为|a|≠0，
所以|c|cos〈a，c〉＝|b|cos〈a，b〉＝4×cos ＝2，
所以c在a上的投影向量的长度为
||c|cos〈a，c〉|＝2.
5.(易错题)已知a，b为非零向量，则“a·b＞0”是“a与b的夹角为锐角”的(　　)
A.充分不必要条件
B.