人教版高中数学第4讲　随机事件的概率与古典概型.doc

第4讲　随机事件的概率与古典概型
一、知识梳理
1．概率与频率
(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．
(2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．
2．事件的关系与运算
定义
符号表示
包含关系
如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
B⊇A
(或A⊆B)
相等关系
若B⊇A且A⊇B，那么称事件A与事件B相等
A＝B
并事件
(和事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B
(或A＋B)
交事件
(积事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B
(或AB)
互斥事件
若A∩B为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥
A∩B＝∅
对立事件
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件
A∩B＝∅
且A∪B＝Ω
3.古典概型
(1)基本事件的特点
①任何两个基本事件是互斥的；
②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
(2)特点
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性．
②每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性．
(3)概率公式
P(A)＝．
4．对古典概型的理解
(1)一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型．正确判断试验的类型是解决概率问题的关键．
(2)古典概型是一种特殊的概率模型，但并不是所有的试验都是古典概型．
常用结论
概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率：P(A)＝1.
(3)不可能事件的概率：P(A)＝0.
(4)概率的加法公式
如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(5)对立事件的概率
若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．
二、教材衍化
1．袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则
①恰有1个白球和全是白球；
②至少有1个白球和全是黑球；
③至少有1个白球和至少有2个白球；
④至少有1个白球和至少有1个黑球．
在上述事件中，是互斥事件但不是对立事件的为________．
答案：①
2．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：
分组
[10，20)
[20，30)
[30，40)
[40，50)
[50，60)
[60，70)
频数
2
3
4
5
4
2
则样本数据落在区间[10，40)的频率为________．
答案：0.45
3．袋中装有6个白球， 5个黄球，4个红球．从中任取一球，则取到白球的概率为________．
解析：从袋中任取一球，有15种取法，其中取到白球的取法有6种，则所求概率为P＝＝.
答案：
4．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为________．
解析：从5件产品中任取2件共有C＝10(种)取法，恰有一件次品的取法有CC＝6(种)，所以恰有一件次品的概率为＝0.6.
答案：0.6
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)事件发生的频率与概率是相同的．(　　)
(2)随机事件和随机试验是一回事．(　　)
(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(　　)
(4)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生．(　　)
(5)若A，B为互斥事件，则P(A)＋P(B)＝1.(　　)
(6)在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×　(6)×
二、易错纠偏
(1)确定互斥事件、对立事件出错；
(2)基本事件计数错误．
1．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为________．
解析：由题意得，甲不输的概率为＋＝.
答案：
2．掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋发生的概率为________．
解析：掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意