人教版高中数学第4节 复数.doc

第4节　复　数
考试要求　1.理解复数的基本概念.2.理解复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示法及其几何意义.4.能进行复数代数形式的四则运算.5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
1.复数的有关概念
(1)定义：我们把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位).
(2)分类：
满足条件(a，b为实数)
复数的
分类
a＋bi为实数⇔b＝0
a＋bi为虚数⇔b≠0
a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).
(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).
(5)模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R).
2.复数的几何意义
复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系.
3.复数的运算
(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
(2)几何意义：
复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝＋，＝－.
1.i的乘方具有周期性
i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.
2.(1±i)2＝±2i，＝i；＝－i.
3.复数的模与共轭复数的关系
z·＝|z|2＝||2.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　　)
(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.(　　)
(3)原点是实轴与虚轴的交点.(　　)
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
解析　(1)虚部为b；(2)虚数不可以比较大小.
2.(2021·北京卷)在复平面内，复数z满足(1－i)·z＝2，则z＝(　　)
A.1 B.i C.1－i D.1＋i
答案　D
解析　由题意可得z＝＝＝1＋i.
3.(2021·新高考Ⅱ卷)复数在复平面内对应的点所在的象限为(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案　A
解析　＝＝＝，所以该复数在复平面内对应的点为，该点在第一象限.
4.(2021·上海卷)已知z＝1－3i，则|－i|＝________.
答案　
解析　∵z＝1－3i，∴＝1＋3i，∴－i＝1＋3i－i＝1＋2i，∴|－i|＝＝.
5.已知a＋bi(a，b∈R)是的共轭复数，则a＋b＝________.
答案　1
解析　由＝＝－i，得a＋bi＝i，即a＝0，b＝1，则a＋b＝1.
6.(易错题)i为虚数单位，若复数(1＋mi)(i＋2)是纯虚数，则实数m等于________.
答案　2
解析　因为(1＋mi)(i＋2)＝2－m＋(1＋2m)i是纯虚数，所以2－m＝0，且1＋2m≠0，解得m＝2.
　考点一　复数的概念
1.(2022·北京朝阳区一模)如果复数(b∈R)的实部与虚部相等，那么b＝(　　)
A.－2 B.1 C.2 D.4
答案　A
解析　＝＝b－2i，所以实部为b，虚部为－2，故b的值为－2，故选A.
2.(多选)若复数z＝，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是(　　)
A.z的虚部为－1
B.|z|＝
C.z2为纯虚数
D.z的共轭复数为－1－i
答案　ABC
解析　z＝＝＝＝1－i，对于A，z的虚部为－1，正确；
对于B，模长|z|＝，正确；
对于C，因为z2＝(1－i)2＝－2i，故z2为纯虚数，正确；
对于D，z的共轭复数为1＋i，错误.
3.(多选)设z1，z2是复数，则下列命题中的真命题是(　　)
A.若|z1－z2|＝0，则1＝2
B.若z1＝2，则1＝z2
C.若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2
D.若|z1|＝|z2|，则z＝z
答案　ABC
解析　对于A，若|z1－z2|＝0，则z1－z2＝0，z1＝z2，所以1＝2为真；
对于B，若z1＝2，则z1和z2互为共轭复数，所以1＝z2为真；
对于C，设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，a1，b1，a2，b2∈R，
若|z1|＝|z2|，则＝，
即