人教版高中数学第5节 二次函数与一元二次方程、不等式.doc

第5节　二次函数与一元二次方程、不等式
考试要求　1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系.2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义.3.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.
1.一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.
2.三个“二次”间的关系
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图象
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
(a＞0)的根
有两相异实根x1，x2(x1＜x2)
有两相等实根
x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0
(a＞0)的解集
R
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
∅
∅
3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集
不等式
解集
a<b
a＝b
a>b
(x－a)·(x－b)>0
{x|x<a或x>b}
{x|x≠a}
{x|x<b或x>a}
(x－a)·(x－b)<0
{x|a<x<b}
∅
{x|b<x<a}
4.分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0).
(2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
1.绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|<a(a>0)的解集为
(－a，a).
记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.
2.解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记当a＝0时的情形.
3.不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定.
(1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或
(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.(　　)
(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.(　　)
(3)不等式x2≤a的解集为[－，].(　　)
(4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0(a<0)的解集为R.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
解析　(1)错误.≥0等价于
(x－a)(x－b)≥0且x≠b.
(3)错误.当a＝0时，其解集为{0}，当a<0时，其解集为∅.
(4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实根，则不等式ax2＋bx＋c>0(a<0)的解集为∅.
2.(2021·湖南师大附中月考)已知集合A＝{x|x2－2x－3＜0}，B＝{x|y＝lg(x－1)}，则
A∩B＝(　　)
A.(3，＋∞) B.(－1，＋∞)
C.(－1，1) D.(1，3)
答案　D
解析　易知A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|x＞1}，则A∩B＝{x|1＜x＜3}，故选D.
3.(2022·福州质检)若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为，则a－b的值是(　　)
A.－10 B.－14 C.10 D.14
答案　A
解析　由题意知，－，是方程ax2＋bx＋2＝0的两根，所以解得故a－b＝－10.
4.(多选)(2022·青岛质检)关于x的不等式(ax－1)(x＋2a－1)＞0的解集中恰有3个整数，则a的值可以为(　　)
A.－ B.1 C.－1 D.2
答案　AC
解析　由题意知a＜0，则排除B，D；
对于A，当a＝－时，(x－2)＞0，即(x＋2)(x－2)＜0，解得－2＜x＜2，恰有3个整数，符合题意；
对于C，当a＝－1时，(－x－1)(x－3)＞0，
即(x＋1)(x－3)＜0，解得－1＜x＜3，恰有3个整数，符合题意，故选AC.
5.(2021·上海卷)不等式＜1的解集为________.
答案　(－7，2)
解析　＜1，即－1＜0，即＜0，解得－7＜x＜2，因此不等式的解集为(－7，2)
.
6.(易错题)不等式mx2＋mx＋1＞0对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围是________.
答案　[0，4)
解析　当m＝0时，1＞0，不等式恒成立，
当m≠0时，
得0＜m＜4.
综上，0≤m＜4.
　考点一　一元二次不等式的求解
角度1　不含参数的不等式
例1 (1)不等式－2x2＋x＋3＜0的解集为(　　)
A.
B