人教版高中数学第5节 指数与指数函数.doc

第5节　指数与指数函数
考试要求　1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.通过实例，了解指数函数的实际意义，能用描点法或借助计算工具画出指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性，特殊点等性质，并能简单应用.
1.根式的概念及性质
(1)概念：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)①负数没有偶次方根.
②0的任何次方根都是0，记作＝0.
③()n＝a(n∈N*，且n>1).
④＝a(n为大于1的奇数).
⑤＝|a|＝(n为大于1的偶数).
2.分数指数幂
规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
3.指数幂的运算性质
实数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈R.
4.指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.
(2)指数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1；
当x<0时，0<y<1
当x<0时，y>1；
当x>0时，0<y<1
在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数
y＝ax与y＝的图象关于y轴对称
1.画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
2.指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与0<a<1来研究.
3.在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)＝－4.(　　)
(2)分数指数幂a可以理解为个a相乘.(　　)
(3)函数y＝2x－1是指数函数.(　　)
(4)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞).(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
解析　(1)由于＝＝4，故(1)错误.
(2)当<1时，不可以，故(2)错误.
(3)由于指数函数解析式为y＝ax(a＞0，且a≠1)，
故y＝2x－1不是指数函数，故(3)错误.
(4)由于x2＋1≥1，又a＞1，∴ax2＋1≥a.
故y＝ax2＋1(a＞1)的值域是[a，＋∞)，(4)错误.
2.(多选)下列函数中，值域为(0，＋∞)的是(　　)
A.y＝x2 B.y＝
C.y＝2x D.y＝3x－1
答案　CD
解析　y＝x2的值域为[0，＋∞)；y＝的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
y＝2x的值域为(0，＋∞)；
y＝3x－1的值域为(0，＋∞).
3.(2021·日照检测)函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是(　　)
答案　A
解析　易知f(x)为偶函数，且f(x)＝1－e|x|≤0，A正确.
4.(易错题)若函数f(x)＝(a2－3)·ax为指数函数，则a＝________.
答案　2
解析　依题意解得a＝2.
5.已知a＝－，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系是________.
答案　c＜b＜a
解析　∵y＝是R上的减函数，
∴－＞－＞，即a＞b＞1，
又c＝－＜＝1，∴c＜b＜a.
6.(2022·重庆月考)计算：－×＋8×－＝________.
答案　2
解析　原式＝×1＋2×2－＝2.
考点一　指数幂的运算
1.(2020·新高考全国Ⅰ卷)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)(　　)
A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天
答案　B
解析　由R0＝1＋rT，R0＝3.28，T＝6，
得r＝＝＝0.38.
由题意，累计感染病例数增加1倍，
则I(t2)＝2I(t1)，
即e0.38t2＝2e0.38t1，所以e0.38(t2－t1)＝2，
即0.38(t2－t1)＝ln 2，
∴t