人教版高中数学第6讲　双曲线.doc

第6讲　双曲线
一、知识梳理
1．双曲线的定义
条件
结论1
结论2
平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2
M点的
轨迹为
双曲线
F1、F2为双曲线的焦点
|F1F2|为双曲线的焦距
||MF1|－|MF2||＝2a
2a＜|F1F2|
[注意]　(1)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；
(2)当2a＞|F1F2|时，P点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长
a、b、c的关系
c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
3.等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝.
常用结论
1．双曲线中的几个常用结论
(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.
(4)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为.
2．巧设双曲线方程
(1)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．
(2)过已知两个点的双曲线方程可设为mx2＋ny2＝1(mn＜0)．
二、教材衍化
1．双曲线－＝－1的实轴长________，离心率________，渐近线方程________．
答案：10　　y＝±x
2．经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．
解析：设双曲线的方程为－＝±1(a＞0)，
把点A(3，－1)代入，得a2＝8(舍负)，
故所求方程为－＝1.
答案：－＝1
3．以椭圆＋＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为________．
解析：设要求的双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，由椭圆＋＝1，得焦点为(±1，0)，顶点为(±2，0)．所以双曲线的顶点为(±1，0)，焦点为(±2，0)．所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2－a2＝3，所以双曲线标准方程为x2－＝1.
答案：x2－＝1
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线．(　　)
(2)椭圆的离心率e∈(0，1)，双曲线的离心率e∈(1，＋∞)．(　　)
(3)方程－＝1(mn＞0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　　)
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
二、易错纠偏
(1)忽视双曲线定义的条件致误；
(2)忽视双曲线焦点的位置致误．
1．平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是________．
解析：由|PF1|－|PF2|＝6＜|F1F2|＝8，得a＝3，又c＝4，则b2＝c2－a2＝7，所以所求点的轨迹是双曲线－＝1的下支．
答案：双曲线－＝1的下支
2．坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的斜率为，则双曲线的离心率为________．
解析：若双曲线的焦点在x轴上，
设双曲线的方程为－＝1，
则渐近线的方程为y＝±x，
由题意可得＝，b＝a，
可得c＝2a，则e＝＝2；
若双曲线的焦点在y轴上，
设双曲线的方程为－＝1，
则渐近线的方程为y＝±x，
由题意可得＝，a＝b，
可得c＝a，则e＝.
综上可得e＝2或e＝.
答案：2或
考点一　双曲线的定义(基础型)
了解双曲线的定义及几何图形．
核心素养：数学抽象
(1)(2020·河南非凡联盟4月联考)已知双曲线C：－＝1(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，一条渐近线与直线4x＋3y＝0垂直，点M在C上，且|MF2|＝6，则|