人教版高中数学第6节 对数与对数函数.doc

第6节　对数与对数函数
考试要求　1.理解对数的概念及运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画具体对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数.
1.对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
2.对数的性质、运算性质与换底公式
(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算性质
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R).
(3)换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).
3.对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
当x>1时，y>0；
当0<x<1时，y<0
当x>1时，y<0；
当0<x<1时，y>0
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.它们的定义域和值域正好互换.
1.换底公式的两个重要结论
(1)logab＝(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1).
(2)logambn＝logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0).
2.对数函数的图象与底数大小的比较
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.
故0＜c＜d＜1＜a＜b.
由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)log2x2＝2log2x.(　　)
(2)函数y＝log2(x＋1)是对数函数.(　　)
(3)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同.(　　)
(4)当x>1时，若logax>logbx，则a<b.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
解析　(1)log2x2＝2log2|x|，故(1)错误.
(2)形如y＝logax(a＞0，且a≠1)为对数函数，故(2)错误.
(4)若0<b<1<a，则当x＞1时，logax＞logbx，故(4)错误.
2.log29×log34＋2log510＋log50.25＝(　　)
A.0 B.2 C.4 D.6
答案　D
解析　原式＝2log23×(2log32)＋log5(102×0.25)＝4＋log525＝4＋2＝6.
3.(2020·全国Ⅰ卷)设alog34＝2，则4－a＝(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　法一　因为alog34＝2，所以log34a＝2，则4a＝32＝9，所以4－a＝＝.
法二　因为alog34＝2，所以a＝＝2log43＝log432＝log49，所以4－a＝4－log49＝4log49－1＝9－1＝.
4.(2021·新高考Ⅱ卷)已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是(　　)
A.c<b<a B.b<a<c
C.a<c<b D.a<b<c
答案　C
解析　a＝log52<log5＝＝log82<log83＝b，即a<c<b.
5.函数y＝loga(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过的定点是________.
答案　(2，2)
解析　当x＝2时，函数y＝loga(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的值为2，所以图象恒过定点(2，2).
6.(易错题)已知函数f(x)＝loga(2x－a)在区间上恒有f(x)＞0，则实数a的取值范围是________.
答案　
解析　由题意得
或解得＜a＜1.
　考点一　对数的运算
1.设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于(　　)
A. B.10 C.20 D.100
答案　A
解析　由已知，得a＝log2m，b＝log5m，
则＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.
解得m＝.
2.计算：＝________.