2022届高考数学一轮复习（人教版）第2章 §2.1 第1课时　函数的概念及其表示.docx

§2.1　函数的概念及其表示
考试要求　1.了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域.2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用．
1．函数的概念
一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的定义域、值域
(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
4．分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
(2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
微思考
1．直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有多少个交点？
提示　0个或1个．
2．函数定义中，非空数集A，B与函数的定义域、值域有什么关系？
提示　函数的定义域即为集合A，值域为集合B的子集．
题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的函数．(　×　)
(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．(　×　)
(3)y＝＋是一个函数．(　×　)
(4)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭的曲线．(　×　)
题组二　教材改编
2．函数f(x)＝＋的定义域为________．
答案　[0,2)∪(2，＋∞)
解析　依题意
解得x≥0且x≠2，
∴原函数的定义域为[0,2)∪(2，＋∞)．
3．已知函数f(x)＝则f(2)＝________.
答案　2
解析　f(2)＝f(1)＝21＝2.
4．函数f(x)＝x－在区间[2,4]上的值域为________．
答案　
解析　f(x)＝x－在区间[2,4]上单调递增，
又f(2)＝，
f(4)＝，
故f(x)的值域为.
题组三　易错自纠
5．下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是(　　)
答案　C
解析　A选项中的值域不满足，B选项中的定义域不满足，D选项不是函数的图象，由函数的定义可知选项C正确．
6．已知f()＝x＋－1，则f(x)＝________.
答案　x2＋x－1，x≥0
解析　令t＝，则t≥0，x＝t2，
∴f(t)＝t2＋t－1(t≥0)，
∴f(x)＝x2＋x－1，x≥0.
第1课时　函数的概念及其表示
题型一 函数的概念
1．下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是(　　)
答案　C
2．(多选)下列各组函数相等的是(　　)
A．f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1
B．f(x)＝x－1，g(x)＝
C．f(x)＝，g(x)＝
D．f(x)＝，g(x)＝x
答案　AC
3．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是________．(填序号)
①f：x→y＝x；②f：x→y＝x；③f：x→y＝x；④f：x→y＝.
答案　③
解析　③中，f：x→y＝x，x∈[0,4]时，y＝x∈⊈Q，故不满足函数的定义．
思维升华 (1)函数的定义要求第一个非空数集A中的任何一个元素在第二个非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素．
(2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同．
题型二 求函数的解析式
例1 求下列函数的解析式：
(1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式；
(2)已知f ＝x2＋，求f(x)的解析式；
(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；
(4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式．
解　(1)(换元法)设1－sin x＝t，t∈[0,2]，
则sin x＝1－t，∵f(1－s