2022届高考数学一轮复习（人教版）第2章 §2.3　幂函数与二次函数.docx

§2.3　幂函数与二次函数
考试要求　1.了解幂函数的概念.2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，的图象，了解它们的变化情况.3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质.4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较
函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x－1
图象
性
质
定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在R上单调递增
在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增
在R上单调递增
在[0，＋∞)上单调递增
在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减
公共点
(1,1)
2.二次函数的图象和性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域
R
R
值域
单调性
在x∈上单调递减；
在x∈上单调递增
在x∈上单调递增；
在x∈上单调递减
对称性
函数的图象关于直线x＝－对称
微思考
1．幂函数的图象会不会出现在第一或第四象限？为什么？
提示　幂函数y＝xα(α为常数)，当x>0时，y>0，故幂函数的图象一定经过第一象限，一定不过第四象限．
2．二次函数的解析式有哪些常用形式？
提示　(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(2)顶点式：y＝a(x－m)2＋n(a≠0)；
(3)零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数是幂函数．(　×　)
(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　√　)
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，x∈[m，n]的最值一定是.(　×　)
(4)二次函数y＝x2＋mx＋1在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是m≥－2.(　√　)
题组二　教材改编
2．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α等于(　　)
A. B．1 C. D．2
答案　C
解析　由幂函数的定义，知
∴k＝1，α＝.∴k＋α＝.
3.如图是①y＝xa；②y＝xb；③y＝xc在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c<b<a
B．a<b<c
C．b<c<a
D．a<c<b
答案　D
4．函数g(x)＝x2－2x(x∈[0,3])的值域为________．
答案　[－1,3]
解析　由g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0,3]，
得g(x)在[0,1]上是减函数，
在[1,3]上是增函数，
所以g(x)min＝g(1)＝－1，
因为g(0)＝0，g(3)＝3，
所以g(x)在x∈[0,3]上的值域为[－1,3]．
题组三　易错自纠
5．幂函数(a∈Z)为偶函数，且f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则a等于(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
答案　C
解析　因为a2－10a＋23＝(a－5)2－2，
(a∈Z)为偶函数，
且在区间(0，＋∞)上是减函数，
所以(a－5)2－2<0，从而a＝4,5,6，
又(a－5)2－2为偶数，所以只能是a＝5，故选C.
6．函数y＝x2－ax＋1在区间[－1,2]内单调，则实数a的取值范围是________．
答案　(－∞，－2]∪[4，＋∞)
解析　函数y＝x2－ax＋1的对称轴为x＝，
则≤－1或≥2，解得a≤－2或a≥4.
题型一 幂函数的图象与性质
1．若幂函数的图象经过点，则它的单调递增区间是(　　)
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0)
答案　D
解析　设f(x)＝xα，则2α＝，α＝－2，即f(x)＝x－2，它是偶函数，单调递增区间是(－∞，0)．故选D.
2．已知幂函数(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，则n的值为(　　)
A．－3 B．1 C．2 D．1或2
答案　B
解析　由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1符合题意，故选B.
3．若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为