2022届高考数学一轮复习（人教版）第8章 高考专题突破五 第2课时　定点与定值问题.docx

第2课时　定点与定值问题
题型一 定点问题
例1 (12分)(2020·全国Ⅰ)已知A，B分别为椭圆E：＋y2＝1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，·＝8.P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.
(1)求E的方程；
(2)证明：直线CD过定点．
规范解答
(1)解　依据题意作图，如图所示，
由椭圆方程E：＋y2＝1(a>1)可得，
A(－a,0)，B(a,0)，G(0,1)，
∴＝(a,1)，＝(a，－1)，
∴·＝a2－1＝8，∴a2＝9，即a＝3，
∴E的方程为＋y2＝1.[3分]
(2)证明　设P(6，y0)，
则直线AP的方程为y＝(x＋3)，
即y＝(x＋3)，[4分]
联立直线AP的方程与椭圆方程可得
整理得(y＋9)x2＋6yx＋9y－81＝0，
解得x＝－3或x＝，
将x＝代入直线y＝(x＋3)可得y＝，
∴点C的坐标为.[6分]
同理可得点D的坐标为，[8分]
∴直线CD的方程为y－＝，
整理可得y＋＝＝，
整理得y＝x＋＝，
故直线CD过定点.[12分]
第一步：确定曲线方程(一般根据待定系数法或定义法)．
第二步：设直线方程并与曲线方程联立，得关于x或y的一元二次方程．
第三步：写出根与系数的关系(或求出交点坐标)．
第四步：将第三步得出的关系代入题目条件，解决范围、最值或定点、定值等问题．
第五步：反思回顾，考虑方程有解条件和图形完备性．
跟踪训练1 (2019·北京)已知抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)．
(1)求抛物线C的方程及其准线方程；
(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝－1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
(1)解　由抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)，得p＝2.
所以抛物线C的方程为x2＝－4y，其准线方程为y＝1.
(2)证明　抛物线C的焦点为F(0，－1)．
设直线l的方程为y＝kx－1(k≠0)．
由
得x2＋4kx－4＝0.
Δ＝16k2＋16>0恒成立．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2＝－4.
直线OM的方程为y＝x.
令y＝－1，得点A的横坐标xA＝－.
同理得点B的横坐标xB＝－.
设点D(0，n)，则＝，
＝，
·＝＋(n＋1)2＝＋(n＋1)2＝＋(n＋1)2＝－4＋(n＋1)2.
令·＝0，即－4＋(n＋1)2＝0，
得n＝1或n＝－3.
综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0，－3)．
题型二 定值问题
例2 (2020·新高考全国Ⅰ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点A(2,1)．
(1)求C的方程；
(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足.证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值.
(1)解　由题设得＋＝1，＝，
解得a2＝6，b2＝3.
所以C的方程为＋＝1.
(2)证明　设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
若直线MN与x轴不垂直，
设直线MN的方程为y＝kx＋m，代入＋＝1，
得(1＋2k2)x2＋4