2022届高考数学一轮复习（人教版）第9章 §9.2　变量间的相关关系、统计案例.docx

§9.2　变量间的相关关系、统计案例
考试要求　1.会作两个相关变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系.2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.3.了解独立性检验的基本思想、方法及其初步应用.4.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用．
1．相关关系与回归方程
(1)相关关系的分类
①正相关
在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关．
②负相关
在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关．
(2)线性相关关系
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．
(3)回归方程
①最小二乘法
求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．
②回归方程
方程＝x＋是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程，其中，是待定参数．
(4)回归分析
①定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．
②样本点的中心
对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中(，)称为样本点的中心．
③相关系数
当r>0时，表明两个变量正相关；
当r<0时，表明两个变量负相关．
r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．
2．独立性检验
(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．
(2)列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为
2×2列联表
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
构造一个随机变量K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．
(3)独立性检验：利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．
微思考
1．变量的相关关系与变量的函数关系有什么区别？
提示　相同点：两者均是指两个变量的关系．
不同点：①函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系．
②函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．
2．线性回归方程是否都有实际意义？根据回归方程进行预报是否一定准确？
提示　(1)不一定都有实际意义．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．
(2)根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．
题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)散点图是判断两个变量相关关系的一种重要方法和手段．(　√　)
(2)回归直线＝x＋至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点．(　×　)
(3)相关系数的绝对值越接近1，样本数据的线性相关程度越强．(　√　)
(4)若事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的K2的观测值越小．(　×　)
题组二　教材改编
2．下列四个散点图中，变量x与y之间具有负的线性相关关系的是(　　)
答案　D
解析　观察散点图可知，只有D选项的散点图表示的是变量x与y之间具有负的线性相关关系．
3．下面是2×2列联表：
y1
y2
总计
x1
a
21
73
x2
22
25
47
总计
b
46
120
则表中a，b的值分别为(　　)
A．94,72 B．52,50
C．52,74 D．74,52
答案　C
解析　∵a＋21＝73，∴a＝52.
又a＋22＝b，∴b＝74.
4．已知x，y的对应取值如下表，从散点图可以看出y与x线性相关，且线性回归方程为＝0.95x＋，则等于(　　)
x
0
1
3
4
y
2.2
4.3
4.8
6.7
A.3.25 B．2.6 C．2.2 D．0
答案　B
解析　回归直线过点(2,4.5)，
∴4.5＝0.95×2＋，
∴＝2.6.
题组三　易错自纠
5．在统计中，由一组样本数据(x1，y1)，(x