2022届高考数学一轮复习（人教版）第10章 高考专题突破六　高考中的概率与统计问题.docx

高考专题突破六　高考中的概率与统计问题
题型一 随机事件的概率
例1 某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是.若各家庭回答是否正确互不影响．
(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
解　(1)记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件A，B，C，则P(A)＝，且有
即
所以P(B)＝，P(C)＝.
(2)有0个家庭回答正确的概率为
P0＝P()＝P()·P()·P()＝××＝，
有1个家庭回答正确的概率为
P1＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝P(A)·P()·P()＋P()·P(B)·P()＋P()·P()·P(C)
＝××＋××＋××＝，
所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率为
P＝1－P0－P1＝1－－＝.
思维升华 随机事件的概率求解策略
(1)对复杂的随机事件表示成互斥事件的和，独立事件的积；
(2)利用概率的性质进行计算．
跟踪训练1 (1)(2020·上海市七宝中学模拟)通过手机验证码登录哈啰单车App，验证码由四位数字随机组成，如某人收到的验证码(a1，a2，a3，a4)满足a1<a2<a3<a4，则称该验证码为递增型验证码，某人收到一个验证码，那么是首位为2的递增型验证码的概率为________．
答案　
解析　∵a1＝2,2<a2<a3<a4，
∴a2，a3，a4从3～9中选，
只要选出3个数，让其按照从小到大的顺序排列，分别对应a2，a3，a4即可，
∴P＝＝.
(2)某城市2020年的空气质量状况如表所示：
污染指数T
30
60
100
110
130
140
概率p
其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良，100＜T≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2020年空气质量达到良或优的概率为________．
答案　
解析　由题意可知2020年空气质量达到良或优的概率为p＝＋＋＝.
题型二 用样本估计总体
例2 (2021·石家庄模拟)“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称．某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分为100分(90分及以上为认知程度高)．现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组，第一组：[20,25)，第二组：[25,30)，第三组：[30,35)，第四组：[35,40)，第五组：[40,45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有6人．
(1)求x；
(2)求抽取的x人的年龄的中位数(结果保留整数)；
(3)从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户五种人中用分层抽样的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分别记为1～5组，从这5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加“一带一路”知识竞赛，分别代表相应组的成绩，年龄组中1～5组的成绩分别为93,96,97,94,90，职业组中1～5组的成绩分别为93,98,94,95,90.
①分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差；
②以上述数据为依据，评价5个年龄组和5个职业组对“一带一路”的认知程度，并谈谈你的感想．
解　(1)根据频率分布直方图得第一组的频率为0.01×5＝0.05，∴＝0.05，∴x＝120.
(2)设中位数为a，则0.01×5＋0.07×5＋(a－30)×0.06＝0.5，
∴a＝≈32，则中位数为32.
(3)①5个年龄组成绩的平均数为1＝×(93＋96＋97＋94＋90)＝94，方差为s＝×[(－1)2＋22＋32＋02＋(－4)2]＝6.
5个职业组成绩的平均数为2＝×(93＋98＋94＋95＋90)＝94，方差为s＝×[(－1)2＋42＋02＋12＋(－4)2]＝6.8.
②从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看年龄组的认知程度更稳定(感想合理即可)．
思维升华 (1)注意频率分布直方图中平均数、中位数、众数的求法．
(2)处理决策问题时，一般先比较平均数，若平均数相同，再比较方差．
跟踪训练2 (2020·佛山模拟)寒假期间，很多同学都喜欢参加“迎春花市摆档口”的社会实践活动，下表是今年某个档口某种精品的销售数据．
日期
2月14日
2月15日
2月16日
2月17日