2024年高考数学一轮复习（人教版） 第1章　§1.5　一元二次方程、不等式.docx

§1.5　一元二次方程、不等式
考试要求　1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法．
知识梳理
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的对应关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数的图象
方程的根
有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)
有两个相等的实数根x1＝x2＝－
没有实数根
不等式的解集
{x|x<x1，或x>x2}
{x|x≠－}
R
2．分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；
(2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
3．简单的绝对值不等式
|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|<a(a>0)的解集为(－a，a)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　×　)
(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(x1，x2)，则a<0.(　√　)
(3)若ax2＋bx＋c>0恒成立，则a>0且Δ<0.(　×　)
(4)不等式≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.(　×　)
教材改编题
1．不等式<0的解集为(　　)
A．∅ B．(2,3)
C．(－∞，2)∪(3，＋∞) D．(－∞，＋∞)
答案　B
解析　<0等价于(x－3)(x－2)<0，解得2<x<3.
2．已知2x2＋kx－m<0的解集为(t，－1)(t<－1)，则k＋m的值为(　　)
A．1 B．2 C．－1 D．－2
答案　B
解析　因为2x2＋kx－m<0的解集为(t，－1)(t<－1)，
所以x＝－1为方程2x2＋kx－m＝0的一个根，
所以k＋m＝2.
3．已知对任意x∈R，x2＋(a－2)x＋≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案　[1,3]
解析　∀x∈R，x2＋(a－2)x＋≥0，则Δ≤0⇒(a－2)2－1≤0⇒1≤a≤3.
题型一　一元二次不等式的解法
命题点1　不含参数的不等式
例1　(1)不等式|x|(1－2x)>0的解集是(　　)
A.
B.
C．(－∞，0)∪
D．(－∞，0)∪
答案　D
解析　原不等式等价于
即x<且x≠0，故选D.
(2)(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则下列选项中正确的是
(　　)
A．a>0
B．不等式bx＋c>0的解集是{x|x<－6}
C．a＋b＋c>0
D．不等式cx2－bx＋a<0的解集为∪
答案　ABD
解析　∵关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，∴a>0，A选项正确；
且－2和3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系得
则b＝－a，c＝－6a，则a＋b＋c＝－6a<0，C选项错误；
不等式bx＋c>0即为－ax－6a>0，解得x<－6，B选项正确；
不等式cx2－bx＋a<0即为－6ax2＋ax＋a<0，即6x2－x－1>0，解得x<－或x>，D选项正确．
命题点2　含参数的一元二次不等式
例2　已知函数f(x)＝ax2＋(2－4a)x－8.
(1)若不等式f(x)<0的解集为，求a的值；
(2)当a<0时，求关于x的不等式f(x)>0的解集．
解　(1)不等式f(x)<0，即ax2＋(2－4a)x－8<0，
可化为(ax＋2)(x－4)<0.
因为f(x)<0的解集是，
所以a>0且－＝－，
解得a＝3.
(2)不等式f(x)>0，即ax2＋(2－4a)x－8>0，
因为a<0，所以不等式可化为(x－4)<0，
当4<－，即－<a<0时，原不等式的解集为；
当4＝－，即a＝－时，原不等式的解集为∅；
当4>－，即a<－时，原不等式的解集为.
综上所述，
当－<a<0时，原不等式的解集为；
当a＝－时，原不等式的解集为∅；
当a<－时，原不等式的解集为.
思维升华　对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．
跟踪训练1　解关于x的不等式．
(1)>1；
(2)m>0时，mx2－mx－1<