2024年高考数学一轮复习（人教版） 第3章　§3.4　函数中的构造问题[培优课].docx

§3.4　函数中的构造问题
函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题．
题型一　导数型构造函数
命题点1　利用f(x)与x构造
例1　(2023·苏州质检)已知函数f(x)在R上满足f(x)＝f(－x)，且当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf′(x)<0成立，若a＝20.6·f(20.6)，b＝ln 2·f(ln 2)，c＝log2·f ，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>b>c B．c>b>a
C．a>c>b D．c>a>b
答案　B
解析　因为函数f(x)在R上满足f(x)＝f(－x)，所以函数f(x)是偶函数，
令g(x)＝xf(x)，则g(x)是奇函数，g′(x)＝f(x)＋x·f′(x)，
由题意知，当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf′(x)<0成立，所以g(x)在(－∞，0]上单调递减，
又g(x)是奇函数，所以g(x)在R上单调递减，
因为20.6>1,0<ln 2<1，log2＝－3<0，
所以log2<0<ln 2<1<20.6，
又a＝g(20.6)，b＝g(ln 2)，c＝g，
所以c>b>a.
思维升华　(1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)；
(2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝.
跟踪训练1　(2023·重庆模拟)已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，对任意正实数x满足xf′(x)>2f(x)且f(1)＝0，则不等式f(x)<0的解集是(　　)
A．(－∞，1) B．(－1,1)
C．(－∞，0)∪(0,1) D．(－1,0)∪(0,1)
答案　D
解析　令g(x)＝且x≠0，
则g′(x)＝，
又对任意正实数x满足xf′(x)>2f(x)，
即当x>0时，g′(x)>0，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
由f(x)为偶函数，则g(－x)＝＝＝g(x)，所以g(x)也为偶函数，故g(x)在(－∞，0)上单调递减，
则g(－1)＝g(1)＝＝0，且f(x)<0等价于g(x)＝<＝g(1)，
所以x∈(－1,0)∪(0,1)．
命题点2　利用f(x)与ex构造
例2　(2022·蚌埠质检)已知可导函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意的x∈R，都有f′(x)－f(x)<1，且f(0)＝2 022，则不等式f(x)＋1>2 023ex的解集为(　　)
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C. D．(－∞，1)
答案　A
解析　构造函数F(x)＝，
则F′(x)＝＝，因为f′(x)－f(x)<1，所以F′(x)<0恒成立，故F(x)＝在R上单调递减，f(x)＋1>2 023ex可变形为>2 023，又f(0)＝2 022，所以F(0)＝＝2 023，
所以F(x)>F(0)，解得x<0.
思维升华　(1)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x)；
(2)出现f′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝.
跟踪训练2　(2023·南昌模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)>0，且有f(3)＝3，则f(x)>3e3－x的解集为________．
答案　(3，＋∞)
解析　设F(x)＝f(x)·ex，则F′(x)＝f′(x)·ex＋f(x)·ex＝ex[f(x)＋f′(x)]>0，
∴F(x)在R上单调递增．
又f(3)＝3，则F(3)＝f(3)·e3＝3e3.
∵f(x)>3e3－x等价于f(x)·ex>3e3，
即F(x)>F(3)，
∴x>3，即所求不等式的解集为(3，＋∞)．
命题点3　利用f(x)与sin x，cos x构造
例3　已知偶函数f(x)的定义域为，其导函数为f′(x)，当0<x<时，有f′(x)cos x＋f(x)sin x<0成立，则关于x的不等式f(x)<2f cos x的解集为(　　)
A.∪ B.
C. D.
答案　A
解析　因为偶函数f(x)的定义域为，
所以设g(x)＝，
则g(－x)＝＝，
即g(x)也是偶函数．
当0<x<时，
根据题意g′(x)＝<0，
则g(x)在上单调递减，且为偶函数，
则g(x)在上单调递增．
所以f(x)<2f cos x⇔<⇔g(x)<g，
所以
解得x∈∪.
思维升华　函数f(x)与sin x，cos x相结合构造可导函数的几种常见形式
F(x)＝f(x)sin x，
F′(x)＝f′(x)