2024年高考数学一轮复习（人教版） 第3章　必刷小题5　导数及其应用.docx

必刷小题5　导数及其应用
一、单项选择题
1．函数f(x)＝(2x－1)ex的单调递增区间为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　因为函数f(x)＝(2x－1)ex，所以f′(x)＝2ex＋(2x－1)ex＝(2x＋1)ex，
令f′(x)>0，解得x>－，
所以函数f(x)的单调递增区间为.
2．(2023·茂名模拟)若曲线y＝f(x)＝x2＋ax＋b在点(1，f(1))处的切线为3x－y－2＝0，则有(　　)
A．a＝－1，b＝1 B．a＝1，b＝－1
C．a＝－2，b＝1 D．a＝2，b＝－1
答案　B
解析　将x＝1代入3x－y－2＝0得y＝1，则f(1)＝1，
则1＋a＋b＝1，①
∵f(x)＝x2＋ax＋b，
∴f′(x)＝2x＋a，则f′(1)＝3，即2＋a＝3，②
联立①②，解得a＝1，b＝－1.
3．已知x＝0是函数f(x)＝eax－ln(x＋a)的极值点，则a等于(　　)
A．1 B．2 C．e D．±1
答案　A
解析　因为f(x)＝eax－ln(x＋a)，
所以f′(x)＝aeax－.
又x＝0是f(x)的极值点，
所以a－＝0，
解得a＝±1，经检验知a＝－1不符合条件，故a＝1.
4．(2023·济南质检)拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数f(x)
在闭区间[a，b]上的图象连续不间断，在开区间(a，b)内的导数为f′(x)，那么在区间(a，b)内至少存在一点c，使得f(b)－f(a)＝f′(c)(b－a)成立，其中c叫做f(x)在[a，b]上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数f(x)＝x3－3x在[－2,2]上的“拉格朗日中值点”的个数为(　　)
A．3 B．2 C．1 D．0
答案　B
解析　函数f(x)＝x3－3x，
则f(2)＝2，f(－2)＝－2，f′(x)＝3x2－3，
由f(2)－f(－2)＝f′(c)(2＋2)，
得f′(c)＝1，即3c2－3＝1，
解得c＝±∈[－2,2]，
所以f(x)在[－2,2]上的“拉格朗日中值点”的个数为2.
5．(2023·潍坊模拟)已知函数f(x)＝xex－x2－2x－m在(0，＋∞)上有零点，则m的取值范围是(　　)
A．[1－ln22，＋∞) B．[－ln22－1，＋∞)
C．[－ln22，＋∞) D.
答案　C
解析　由函数y＝f(x)在(0，＋∞)上存在零点可知，m＝xex－x2－2x(x>0)有解，
设h(x)＝xex－x2－2x(x>0)，
则h′(x)＝(x＋1)(ex－2)(x>0)，
当0<x<ln 2时，h′(x)<0，h(x)单调递减；
当x>ln 2时，h′(x)>0，h(x)单调递增．
则x＝ln 2时，h(x)取得最小值，且h(ln 2)＝－ln22，
所以m的取值范围是[－ln22，＋∞)．
6．已知a，b∈R，则“ln a>ln b”是“a＋sin b>b＋sin a”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　由ln a>ln b，得a>b>0.
由a＋sin b>b＋sin a