2024年高考数学一轮复习（人教版） 第4章　§4.2　同角三角函数基本关系式及诱导公式.docx

§4.2　同角三角函数基本关系式及诱导公式
考试要求　1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.
2.掌握诱导公式，并会简单应用．
知识梳理
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tan α.
2．三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin α
－sin α
－sin α
sin α
cos α
cos α
余弦
cos α
－cos α
cos α
－cos α
sin α
－sin α
正切
tan α
tan α
－tan α
－tan α
口诀
奇变偶不变，符号看象限
常用结论
同角三角函数的基本关系式的常见变形
sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；
cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)使sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　×　)
(2)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　×　)
(3)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　×　)
(4)若α∈R，则tan α＝恒成立．(　×　)
教材改编题
1．若cos α＝，α∈，则tan α等于(　　)
A．－ B. C．－2 D．2
答案　C
解析　由已知得，sin α＝－＝－＝－，所以tan α＝＝－2.
2．若sin α＋cos α＝，则sin αcos α等于(　　)
A．－ B．－ C. D．2
答案　B
解析　因为sin α＋cos α＝，所以(sin α＋cos α)2＝，
即sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝，
即1＋2sin αcos α＝，
所以sin αcos α＝－.
3．化简·cos(2π－α)的结果为 ．
答案　sin α
解析　原式＝·cos α＝sin α.
题型一　同角三角函数基本关系
例1　(1)(多选)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，则下列结论正确的是(　　)
A．θ∈ B．cos θ＝－
C．tan θ＝－ D．sin θ－cos θ＝
答案　AD
解析　因为sin θ＋cos θ＝，①
所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，则2sin θcos θ＝－，
因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0，
所以θ∈，故A正确；
所以(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，
所以sin θ－cos θ＝，②
故D正确；
由①②联立可得，sin θ＝，cos θ＝－，故B错误；
所以tan θ＝＝－，故C错误．
(2)已知cos α＝－，则13sin α＋5tan α＝ .
答案　0
解析　∵cos α＝－<0且cos α≠－1，
∴α是第二或第三象限角．
①若α是第二象限角，
则sin α＝＝＝，
∴tan α＝＝＝－.
此时13sin α＋5tan α＝13×＋5×＝0.
②若α是第三象限角，
则sin α＝－＝－
＝－，
∴tan α＝＝＝，
此时，13sin α＋5tan α＝13×＋5×＝0.
综上，13sin α＋5tan α＝0.
(3)已知tan α＝2，则＝ ；sin2α＋cos2α＝ .
答案　　
解析　因为tan α＝2，
所以＝＝＝.
sin2α＋cos2α＝·＋·
＝·＋·
＝×＋×＝.
思维升华　(1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
跟踪训练1　(1)(2023·苏州模拟)已知＝5，则cos2α＋sin 2α等于(　　)
A. B．－ C．－3 D．3
答案　A
解析　由＝5，得＝5，
可得tan α＝2，
则cos2α＋sin 2α＝cos2α＋sin αcos α
＝＝＝.
(2)若α∈(0，π)，sin(π－α)＋co