2024年高考数学一轮复习（人教版） 第9章　§9.3　一元线性回归模型及其应用.docx

§9.3　一元线性回归模型及其应用
考试要求　1.了解样本相关系数的统计含义.2.了解最小二乘法原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法.3.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测．
知识梳理
1．变量的相关关系
(1)相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系．
(2)相关关系的分类：正相关和负相关．
(3)线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关．
2．样本相关系数
(1)r＝.
(2)当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，称成对样本数据负相关．
(3)|r|≤1；当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱．
3．一元线性回归模型
(1)我们将＝x＋称为Y关于x的经验回归方程，
其中
(2)残差：观测值减去预测值称为残差．
常用结论
1．经验回归直线过点(，)．
2．求时，常用公式＝.
3．回归分析和独立性检验都是基于成对样本观测数据进行估计或推断，得出的结论都可能犯错误．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)相关关系是一种非确定性关系．(　√　)
(2)散点图是判断两个变量相关关系的一种重要方法和手段．(　√　)
(3)经验回归直线＝x＋至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点．(　×　)
(4)样本相关系数的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强．(　√　)
教材改编题
1．在对两个变量x，y进行回归分析时有下列步骤：
①对所求出的经验回归方程作出解释；②收集数据(xi，yi)，i＝1,2，…，n；③求经验回归方程；④根据所收集的数据绘制散点图．
则下列操作顺序正确的是(　　)
A．①②④③ B．③②④①
C．②③①④ D．②④③①
答案　D
解析　根据回归分析的思想，可知对两个变量x，y进行回归分析时，应先收集数据(xi，yi)，然后绘制散点图，再求经验回归方程，最后对所求的经验回归方程作出解释．
2．对于x，y两变量，有四组成对样本数据，分别算出它们的样本相关系数r如下，则线性相关性最强的是(　　)
A．－0.82 B．0.78 C．－0.69 D．0.87
答案　D
解析　由样本相关系数的绝对值|r|越大，变量间的线性相关性越强知，各选项中r＝0.87的绝对值最大．
3．某单位为了了解办公楼用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了四个工作日的用电量与当天平均气温，并制作了对照表：
气温(℃)
18
13
10
－1
用电量(度)
24
34
38
64
由表中数据得到经验回归方程＝－2x＋，当气温为－4 ℃时，预测用电量约为(　　)
A．68度 B．52度
C．12度 D．28度
答案　A
解析　由表格可知＝10，＝40，
根据经验回归直线必过(，)得＝40＋20＝60，
∴经验回归方程为＝－2x＋60，
因此当x＝－4时，＝68.
题型一　成对数据的相关性
例1　(1)(2023·保定模拟)已知两个变量x和y之间有线性相关关系，经调查得到如下样本数据：
x
3
4
5
6
7
y
3.5
2.4
1.1
－0.2
－1.3
根据表格中的数据求得经验回归方程为＝x＋，则下列说法中正确的是(　　)
A.>0，>0 B.>0，<0
C.<0，>0 D.<0，<0
答案　B
解析　由已知数据可知y随着x的增大而减小，则变量x和y之间存在负相关关系，所以<0.又＝×(3＋4＋5＋6＋7)＝5，＝×(3.5＋2.4＋1.1－0.2－1.3)＝1.1，即1.1＝5＋，所以＝1.1－5>0.
(2)(2022·大同模拟)如图是相关变量x，y的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到经验回归方程＝1x＋1，样本相关系数为r1；方案二：剔除点(10,21)，根据剩下的数据得到经验回归方程＝2x＋2，样本相关系数为r2.则(　　)
A．0<r1<r2<1 B．0<r2<r1<1
C．－1<r1<r2<0 D．－1<r2<r1<0
答案　D
解析　根据相关变量x，y的散点图知，变量x，y具有负线性相关关系，且点(10,21)是离群值；
方案一中，没剔除离群值，线性相关性弱些；
方案二中，剔除离群值，线性相关性强些；
所以样本相关系数－1<r2<r1<0.
思维升华　判定两个变量相关性的方法