2024年高考数学一轮复习（人教版） 第10章　§10.2　排列与组合.docx

§10.2　排列与组合
考试要求　1.理解排列、组合的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.能利用排列、组合解决简单的实际问题．
知识梳理
1．排列与组合的概念
名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照一定的顺序排成一列
组合
作为一组
2.排列数与组合数
(1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，用符号A表示．
(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，用符号C表示．
3．排列数、组合数的公式及性质
公式
(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝(n，m∈N*，且m≤n)．
(2)C＝＝(n，m∈N*，且m≤n)．特别地，C＝1
性质
(1)0！＝1；A＝n！.
(2)C＝C；C＝C＋C
常用结论
1．排列数、组合数常用公式
(1)A＝(n－m＋1)A.
(2)A＝nA.
(3)(n＋1)！－n！＝n·n！.
(4)kC＝nC.
(5)C＋C＋…＋C＋C＝C.
2．解决排列、组合问题的十种技巧
(1)特殊元素优先安排．
(2)合理分类与准确分步．
(3)排列、组合混合问题要先选后排．
(4)相邻问题捆绑处理．
(5)不相邻问题插空处理．
(6)定序问题倍缩法处理．
(7)分排问题直排处理．
(8)“小集团”排列问题先整体后局部．
(9)构造模型．
(10)正难则反，等价转化．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(　×　)
(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(　√　)
(3)若组合式C＝C，则x＝m成立．(　×　)
(4)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m)．(　×　)
教材改编题
1．A＋C等于(　　)
A．35 B．47 C．45 D．57
答案　B
解析　A＋C＝4×3＋＝47.
2．从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男、女生都有的选法种数是(　　)
A．18 B．24 C．30 D．36
答案　C
解析　选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有CC＝18(种)，选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有CC＝12(种)，故3名学生中男、女生都有的选法有CC＋CC＝30(种)．
3．将4名学生分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动，每个地方至少安排一名学生参加，则不同的安排方案共有________种．
答案　36
解析　第一步，先从4名学生中任取两人组成一组，与剩下2人分成三组，有C＝6(种)不同的方法；第二步，将分成的三组安排到甲、乙、丙三地，则有A＝6(种)不同的方法．故共有6×6＝36(种)不同的安排方案.
题型一　排列问题
例1　(1)中国国家滑雪队将开展自由式滑雪项目中的空中技巧、雪上技巧、障碍追逐和U型场地技巧四个项目表演，现安排两名男队员和两名女队员组队参演，参演选手每人展示其中一个不同的项目，雪上技巧项目必须由女队员展示，则所有不同出场顺序与项目展示方案种数为(　　)
A．576 B．288 C．144 D．48
答案　B
解析　根据题意，雪上技巧项目必须由女队员展示，有2种情况，剩下3人表演其他3个项目，有A＝6(种)情况，而4个项目之间的排法有A＝24(种)顺序，则有2×6×24＝288(种)展示方案．
(2)用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成________个无重复数字且不大于4 310的四位偶数．
答案　110
解析　①当千位上排1或3时，符合题意的共有AAA个．
②当千位上排2时，符合题意的共有AA个．
③当千位上排4时，形如40××，42××的偶数各有A个符合题意，形如41××的偶数有AA个符合题意，形如43××的偶数只有4 310和4 302这两个数符合题意．
故共有AAA＋AA＋2A＋AA＋2＝110(个)符合题意．
思维升华　对于有限制条件的排列问题，分析问题时，有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时，一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．
跟踪训练1　(1)(2023·武汉模拟)源于探索外太空的渴望，航天事业在21世纪获得了长足的发展．太空中的环境为某些科学实验提供了有利条件，宇航员常常在太空旅行中进行科学实验．在某次太空旅行中，宇航员们负责的科学实验要经过5道程序，其中A，B两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有(　　)
A．18种 B．36种 C．72种 D．108种