2024年高考数学一轮复习（人教版） 第10章　§10.8　概率与统计的综合问题.docx

§10.8　概率与统计的综合问题
题型一　频率分布直方图与分布列的综合问题
例1　2022年是中国共产主义青年团成立100周年，为引导和带动青少年重温共青团百年光辉历程，某校组织全体学生参加共青团百年历史知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，…，[90,100]，统计结果如图所示．
(1)试估计这100名学生得分的平均数；
(2)从样本中得分不低于70分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记其得分在[90,100]的人数为ξ，试求ξ的分布列和均值；
(3)以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生的得分X近似地服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2，经计算s2＝42.25.现从所有参加知识竞赛的学生中随机抽取500人，若这500名学生的得分相互独立，试问得分高于77分的人数最有可能是多少？
参考数据：若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
解　(1)估计这100名学生得分的平均数为10×(45×0.010＋55×0.015＋65×0.020＋75×0.030＋85×0.015＋95×0.010)＝70.5.
(2)从样本中得分不低于70分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取11人进行座谈，其中得分在[90,100]的人数为×11＝2.
若从座谈名单中随机抽取3人，记其得分在[90,100]的人数为ξ，则ξ的所有可能取值为0,1,2.
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
则ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
(3)由题意知，μ＝70.5，σ2＝s2＝42.25，σ＝6.5.
P(X>77)＝P(X>μ＋σ)＝≈0.158 65，
所以这500名学生得分高于77分的人数最有可能为0.158 65×500≈79.
思维升华　高考常将频率分布直方图与分布列等交汇在一起进行考查，解题时要正确理解频率分布直方图，能利用频率分布直方图正确计算出各组数据．概率问题以计算为主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来．
跟踪训练1　(2023·济南模拟)从某企业的某种产品中随机抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求这100件产品质量指标值的样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)；
(2)已知某用户从该企业购买了3件该产品，用X表示这3件产品中质量指标值位于[35,45]内的产品件数，用频率估计概率，求X的分布列．
解　(1)由已知得，＝10×0.015×10＋20×0.040×10＋30×0.025×10＋40×0.020×10＝25.
(2)因为购买一件产品，其质量指标值位于[35,45]内的概率为0.2，
所以X～B(3,0.2)，因为X的所有可能取值为0,1,2,3，
所以P(X＝0)＝(1－0.2)3＝0.512，
P(X＝1)＝C×0.2×(1－0.2)2＝0.384，
P(X＝2)＝C×0.22×(1－0.2)＝0.096，
P(X＝3)＝0.23＝0.008，
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.512
0.384
0.096
0.008
题型二　回归模型与分布列的综合问题
例2　(2022·德州模拟)工信部发布的《“十四五”促进中小企业发展规划》中明确提出建立“百十万千”的中小企业梯度培育体系，引导中小企业走向“专精特新”“小巨人”“隐形冠军”的发展方向，“专精特新”是指具备专业化、精细化、特色化、新颖化优势的中小企业．下表是某地2017－2021年新增企业数量的有关数据：
年份(年)
2017
2018
2019
2020
2021
年份代码(x)
1
2
3
4
5
新增企业数量(y)
8
17
29
24
42
(1)请根据表中所给的数据，求出y关于x的经验回归方程，并预测2023年此地新增企业的数量；
(2)若在此地进行考察，考察企业中有4个为“专精特新”企业，3个企业中为普通企业，现从这7个企业中随机抽取3个，用X表示抽取的3个企业中为“专精特新”企业的个数，求随机变量X的分布列与均值．
参考公式：经验回归方程＝＋x中，斜率和截距最小二乘估计公式分别为＝，