人教版高中数学2.1 不等式的性质及一元二次不等式（精讲）（提升版）（解析版）.docx

2.1 不等式的性质及一元二次不等式（精讲）（提升版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 不等式的性质
【例1-1】（2022·浙江）已知，是正实数，则下列式子中能使恒成立的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于A，取，该不等式成立，但不满足；
对于C，该不等式等价于，取，，该不等式成立，但不满足；
对于D，该不等式等价于，取，，该不等式成立，但不满足；
下面证明B
法一：不等式等价于，而.函数在上单增，故.
法二：若，则，故，矛盾.故选：B
【例1-2】（2016·浙江）设实数，，满足，，则下列不等式中不成立的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】选项A，要证，只需证即可.
由题意可知，则成立，则成立.
要证，只需证
由题意可知，则，
又因为，所以，则，即成立
故选项A成立，不符合题意.
选项B，要证，只需证即可.
由题意可知，则，成立.
所以成立，即.
要证，只需证，只需证
由题意可知，则，，，.
所以成立，即成立.
故选项B成立，不符合题意.
选项C，要证，只需证即可.
由题意可知则.
又因为，所以.
所以成立，即.
要证，只需证即可
由题意可知则.
又因为，所以.
所以成立，即成立.
故选项C成立，不符合题意.
选项D，令，，则
即，所以不成立，符合题意.故选：D
【一隅三反】
1．（2022·福建·三模）若，则“”的一个必要不充分条件是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，
对于A，当，取，明显可见，不成立，故必要性不成立，A错误；
对于B，当，，得，必要性成立；当，取，，明显可见，，则不成立，充分性不成立；则B正确
对于C，当，取，明显可见，，则不成立，故必要性不成立，则C错误；
对于D，当成立，则，明显可见，成立；当，两边平方，同样有，充分性也成立，D错误；
故选：B
2．（2022·全国·高三专题练****若实数，，满足，则下列不等式正确的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】实数，，满足，
所以对于：当，，时，不成立，故错误；
对于：当，，时，，故错误；
对于：由于，所以，故，故正确；
对于：当，，时，无意义，故错误．故选：．
3．（2022·江苏苏州·高三期末）已知 则下列不等式一定成立的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】取，则，故A选项错误；
取，，，则B选项错误；
取，，则，，即，
故D选项错误；
关于C选项，先证明一个不等式：，令，，
于是时，递增；时，递减；
所以时，有极小值，也是最小值，
于是，当且仅当取得等号，
由，当时，同时取对数可得，，
再用替换，得到，当且仅当取得等号，
由于，得到，，，即，C选项正确. 故选：C.
考点二 不等式恒成立
【例2-1】（2022·海南·嘉积中学）对任意的，恒成立，则的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当时，由得：，（当且仅当，即时取等号），，解得：，即的取值范围为.选：D.
【例2-2】（2022·重庆·高三阶段练****若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，则.
（1）当时，则，
令，.故.
（2）当时，则，令
①当时，，则
②当时，，则故
（3）当时，则在上恒成立，故.综上所述：故选：A.
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练****不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，对一切均大于0恒成立，
所以 ，或，或，
解得或，，或，综上，实数的取值范围是，或.故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练****若不等式的解集为R，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵不等式的解集为R，当a-2＝0，即a＝2时，不等式为3>0恒成立，
故a＝2符合题意；
当a﹣2≠0，即a≠2时，不等式的解集为R，
则，解得，
综合①②可得，实数a的取值范围是．故选：B．
3．（2022·浙江·高三专题练****若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案