人教版高中数学4.4 求和方法（精练）（基础版）（解析版）.docx

4.4 求和方法（精练）（基础版）
题组一 裂项相消
1．（2022·安徽滁州·二模）已知数列满足：，设，．则__________．
【答案】
【解析】依题意，，
所以数列是首项，公比为的等比数列，所以，.
，也满足，
所以，，
所以.故答案为：
2．（2022·全国·高三专题练****已知数列{bn}的前n项和Sn＝2n2﹣n，设数列{}的前n项和为Kn，则K20的值为 __．
【答案】
【解析】当n＝1时，b1＝S1＝2﹣1＝1，
当n≥2时，，
且当n＝1时，4n﹣3＝1＝b1，故数列{bn}的通项公式为：bn＝4n﹣3，
则，
则．故答案为：．
3．（2022·宁夏石嘴山·一模）已知为等比数列，前n项和为，，.
(1)求的通项公式及前n项和；
(2)若，求数列的前100项和.
【答案】(1)；(2)
【解析】(1)解：设公比为，
∵，，∴，∴，∴；
(2)解：∵，∴，
∴.
4．（2022·陕西·西安工业大学附中）设数列的前n项积为，且.
(1)求证数列是等差数列；
(2)设，求数列的前n项和.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】(1)因为数列的前n项积为，且，
∴当n=1时，，则，.
当n≥2时，，∴，
所以是以为首项，为公差的等差数列；
(2)由（1）知数列，则由得，
所以，
所以.
5．（2022·河北衡水·高三阶段练****已知数列的前项和为，若（为非零常数），且.
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前项和，并证明：.
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】(1)数列的前项和为 时, ,解得0 ①
当时，   ②①-②得 ,则即 (常数)
所以数列是以为首项,为公比的等比数列.则
又，则，所以或（舍）故.
(2)由于所以=
则
因为，所以，所以
又所以随的增大而减小
所以当时，取得最大值故
6．（2022·黑龙江·哈九中二模）已知数列满足，．
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)记，求的前n项和
【答案】(1)证明见解析，(2)
【解析】(1)当时，，得，
当时，有，，相除得
整理为：，即，
∴为等差数列，公差，首项为；
所以，整理为：.
(2)，
7．（2022·广东梅州·二模）已知是数列的前项和，，___________.
①，；②数列为等差数列，且的前项和为.从以上两个条件中任选一个补充在横线处，并求解：
(1)求；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)条件选择见解析，(2)
【解析】(1)解：选条件①：，，得，所以，，
即数列、均为公差为的等差数列，
于是，
又，，，所以；
选条件②：因为数列为等差数列，且的前项和为，
得，所以，
所以的公差为，
得到，则，
当，.
又满足，所以，对任意的，.
(2)解：因为，
所以
.
8．（2022·全国·模拟预测）已知数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前n项和.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)解：由，可得，即，
所以当时，，，，，
将上述式子进行累加得，-
将代入可得，即.
当时也满足上式，
所以数列的通项公式.
(2)解：由（1）得，
则.
题组二 错位相减
1．（2022·安徽黄山·二模）已知等差数列和等比数列满足，若数列的前项和为，且.
(1)求数列，的通项公式；
(2)若数列满足：，求数列的前n项和.
【答案】(1)，;(2).
【解析】(1)由①，可得（）②，
由①②得（）             
又也符合上式，所以，
由得，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则有
，
令，有，
令，有             
解得，或者
取，有，检验得（舍去）
所以，；
(2)由得，                    
所以
则
两式相减得，                    
2．（2022·安徽黄山·二模）已知数列、满足，若数列是等比数列，且 ．
(1)求数列、的通项公式；
(2)令，求的前项和为.
【答案】(1)，(2)
【解析】(1)        
当时，， ，又，∴       
是以为首项，为公比的等比数列，                  
∴当时，
由累加法可得：，
又当时，也适合上式，∴
(2)     
∴①
∴②
①-②得：                    
∴
3．