人教版高中数学5.1 平面向量的线性运算及基本定理（精讲）（基础版）（解析版）.docx

5.1 平面向量的线性运算及基本定理（精讲）（基础版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 概念辨析
【例1-1】（2022·全国·高三专题练****下列命题正确的是（       ）
A．向量与是相等向量
B．共线的单位向量是相等向量
C．零向量与任一向量共线
D．两平行向量所在直线平行
【答案】C
【解析】对于A， ，故A错误；
对于B，两个单位向量虽然共线，但方向可能相反，故B错误；
对于C，因为零向量没有方向，所以与任何向量都是共线的，故C正确；
对于D，两个平行向量所在的直线可能重合，故D错误；故选：C.
【例1-2】（2022·全国·高三专题练****下列命题中正确的是（       ）
A．若，则 B．
C．与的方向相反 D．若，则
【答案】B
【解析】对于A选项，由于任意两个向量不能比大小，故A错；
对于B选项，，故B对；
对于C选项，与的方向相同，故C错；
对于D选项，若，但、、的方向不确定，故D错.故选：B.
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练****理））下列说法错误的是（       ）
A．零向量与任一向量都平行 B．方向相反的两个向量一定共线
C．单位向量长度都相等 D．，，均为非零向量，若，则
【答案】D
【解析】规定：零向量与任一向量都平行，故A正确；
方向相反的两个向量一定共线，故B正确；
单位向量长度都为1，故C正确；
当时，且成立，但不一定成立，故D错误；故选：D.
2．（2022·全国·高三专题练****给出如下命题：
①向量的长度与向量的长度相等；
②向量与平行，则与的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个公共终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上．
其中正确的命题个数是（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】对于①，向量与向量，长度相等，方向相反，故①正确；
对于②，向量与平行时，或为零向量时，不满足条件，故②错误；
对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故③正确；
对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，故④错误；
对于⑤，向量与是共线向量，点，，，不一定在同一条直线上，故⑤错误．
综上，正确的命题是①③．故选：B．
3．（2022·全国·高三专题练****多选）下列命题中，不正确的是（       ）
A．若为单位向量，且，则
B．若，，则
C．
D．若平面内有四点，则必有
【答案】ABC
【解析】对于A，，与同向或反向，或，A错误；
对于B，若，则，，但与可能不共线，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，，D正确.故选：ABC.
考点二 共线定理
【例2-1】（2022·河南·平顶山市）已知向量，不共线，且向量与平行，则实数（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】与平行，，向量不共线，
∴存在实数k，使得，，解得，故选：B．
【例2-2】（2022·山东潍坊·三模）已知，是平面内两个不共线的向量，，，，，则，，三点共线的充要条件是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，，三点共线的充要条件是且，所以，故.故选：C
【一隅三反】
1（2022·内蒙古）已知向量，是两个不共线的向量，与共线，则（       ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】因为与共线，所以，，
所以，
因为向量，是两个不共线的向量，所以，解得，故选：C．
2．（2022·山东泰安）已知向量，不共线，向量，，若O，A，B三点共线，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为O，A，B三点共线，则所以，，即
整理得：又∵向量，不共线，则，则故选：A．
3．（2022·全国·高三专题练****若，则与，共面；
②与，共面，则；
③若，则，，，四点共面；
④若，，，四点共面，则.
则以上结论中正确的有（       ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】在①中， ，则由平面向量基本定理得与，一定在同一平面内，故①正确；
在②中，若与，共面，，但如果，共线， 就不一定能用，来表示，故②错误；
在③中，若，则三向量在同一平面内，所以M、N、A、B四点共面，故③正确；
在④中，若M、P、A、B四点共面，且M、P、A、B共线，则不一定成立，故④错误.
故选:B
考点三 平面向量的基本定理
【例