人教版高中数学5.1 平面向量的线性运算及基本定理（精练）（基础版）（解析版）.docx

5.1 平面向量的线性运算及基本定理（精练）（基础版）
题组一 概念辨析
1．（2022·全国·高三专题练****多选）下面的命题正确的有（       ）
A．方向相反的两个非零向量一定共线
B．单位向量都相等
C．若，满足且与同向，则
D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形”
【答案】AD
【解析】对于A，由相反向量的概念可知A正确；
对于B，任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，故B错误；
对于C，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C错误；
对于D，若A、B、C、D是不共线的四点，且，
可得，且，故四边形ABCD是平行四边形；
若四边形ABCD是平行四边形，可知，且，
此时A、B、C、D是不共线的四点，且，故D正确.故选：AD.
2．（2022·全国·高三专题练****多选）下列说法正确的是（       ）
A．对于任意两个向量，若，且同向，则
B．已知，为单位向量，若，则在上的投影向量为
C．设为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的充分不必要条件
D．若，则与的夹角是钝角
【答案】BC
【解析】选项A：向量是既有大小又有方向的量，但不能比较大小，故选项A错误；
选项B：在单位向量上的投影向量为，故选项B正确；
选项C：若存在负数，使得，则；
若，则向量与的夹角为钝角或，故选项C正确；
选项D：若，则与的夹角是钝角或角，故选项D错误；故选：BC.
3．（2022·江苏）（多选）设是已知的平面向量，向量，，在同一平面内且两两不共线，其中真命题是（       ）
A．给定向量，总存在向量，使；
B．给定向量和，总存在实数和，使；
C．给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；
D．若，存在单位向量，和正实数，，使，则．
【答案】ABD
【解析】对于选项A，给定向量和，只需求得其向量差即为所求的向量，故总存在向量，使，故A正确；
对于选项B，当向量，和在同一平面内且两两不共线时，向量，可作基底，由平面向量基本定理可知结论成立，故B正确；
对于选项C，取，无论取何值，向量都平行于x轴，而向量的模恒等于2，要使成立，根据平行四边形法则，向量的纵坐标一定为4，故找不到这样的单位向量使等式成立，故C错误；
对于选项D，，又，不共线，
，即，即，
（当且仅当时等号成立），
，得，故D正确
故选：ABD．
4．（2022·全国·高三专题练****多选）设是已知的平面向量且，向量，和在同一平面内且两两不共线，关于向量的分解，下列说法正确的是（       ）
A．给定向量，总存在向量，使；
B．给定向量和，总存在实数和，使；
C．给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；
D．给定正数和，总存在单位向量和单位向量，使．
【答案】AB
【解析】对于A，给定向量，总存在向量，使，故A正确；
对于B，因为向量在同一平面内且两两不共线，由平面向量基本定理可得：
总存在实数和，使，故B正确；
对于C，设，给定，则不存在单位向量和实数，使，故C错误；
对于D， 设，给定，则不存在单位向量和单位向量，使，故D错误．
故选：AB．
5．（2022·东莞高级中学）（多选）关于平面向量，下列说法中错误的是（ ）
A．若且，则 B．
C．若，且，则 D．
【答案】ACD
【解析】A.若向量，则不一定平行，故错误；
B.根据向量的运算律可知，B正确；
C. ，且，所以或，故错误；
D.表示与向量共线的向量，表示与向量共线的向量，与不一定相等，故错误.
故选：ACD
6．（2022·全国高三专题练****多选）已知是三个平面向量，则下列叙述错误的是（ ）
A．若，则
B．若，且，则
C．若∥，∥，则∥
D．若，则
【答案】ABC
【解析】对A，不一定共线，故A错误；
对B，平面向量的数量积没有消去律，故B错误；
对C，若，则的方向是任意的，故C错误；
对D，，故D正确.
故选：ABC.
7．（2022·全国·高三专题练****给出下列命题：①若，则；②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；③若，，则；④的充要条件是且；⑤若，，则．其中正确命题的序号是________ ．
【答案】②③
【解析】对于①，两个向量的长度相等，不能推出两个向量的方向的关系，故①错误；
对于②，因为A，B，C，D是不共线的四点，且 等价于且，即等价于四边形ABCD为平行四边形，故②正确；
对于③，若,，则，显然正确，故③正确；
对于④，由可以推出且，但是由且可能推出，故“且”是“”的必要不