人教版高中数学5.2 平面向量的数量积及坐标运算（精讲）（基础版）（解析版）.docx

5.2 平面向量的数量积及坐标运算（精讲）（基础版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 坐标运算
【例1-1】（2022·广东广州·三模）（多选）已知向量，，则下列结论中正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】，A正确；，B正确；
，则，C正确；
，D错误.故选：ABC.
【例1-2】（2022·福建·三明一中）（多选）已知向量，，其中，下列说法正确的是（       ）
A．若，则 B．若，则
C．若与的夹角为钝角，则 D．若，向量在方向上的投影为
【答案】ABD
【解析】对于A选项，若，则，解得，A对；
对于B选项，若，则，
所以，，B对；
对于C选项，若与的夹角为钝角，则，可得，
且与不共线，则，故当与的夹角为钝角，则且，C错；
对于D选项，若，则，所以，向量在方向上的投影为，D对.故选：ABD.
【一隅三反】
1．（2022·辽宁·沈阳市）（多选）设向量，满足，且，则以下结论正确的是（       ）
A． B． C． D．向量，夹角为
【答案】AC
【解析】由，可得，
又，则，
即，则.则选项A判断正确；选项D判断错误；
，则选项B判断错误；
，则选项C判断正确.故选：AC
2．（2022·福建省福州格致中学）（多选）已知单位向量的夹角为,则以下说法正确的是（       ）
A． B．
C． D．与可以作为平面内的一组基底
【答案】ABD
【解析】据题意
因为
所以,所以对
因为,所以,所以对.
因为
所以,所以错
因为与不共线,所以可以作为平面内的一组基底,所以正确故选：ABD
3．（2022·浙江·海宁中学）（多选）设是两个非零向量，若，则下列结论正确的是（       ）
A． B．
C．在方向上的投影向量为 D．
【答案】ABC
【解析】因为，所以，所以，所以选项A正确；
因为，所以，即有，所以，所以选项B正确；
因为，所以在方向上的投影向量为，所以选项C正确；
由向量数量积的定义可知，，所以，所以选项D错误.故选：ABC.
4．（2022·江苏·模拟预测）（多选）已知向量，，，，则（       ）
A．若，则
B．若，则
C．的最小值为
D．若向量与向量的夹角为锐角，则的取值范围是
【答案】ABC
【解析】对于A，因为，，，所以，解得，所以A正确.
对于B，由，得，
则解得，故，所以B正确.
对于C，因为，
所以，
则当时，取得最小值，为，所以C正确.
对于D，因为，，向量与向量的夹角为锐角，
所以，解得；
当向量与向量共线时，，解得，
所以的取值范围是，所以D不正确.故选：ABC
考点二 巧建坐标
【例2-1】（2022·全国·高三专题练****如图在中，，为中点，，，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，
又，，，则，即，即，
则，则，，
则；故选：C．
【例2-2】（2022·河南）在长方形中，，，点在边上运动，点在边上运动，且保持，则的最大值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，
，，，
则，，，设，则，
则，，，，，，
，
，其中，
，当时，，当时，，
当时，取得最大值，最大值为．故选：A．
【例2-3】．（2022·上海松江·二模）已知正方形的边长为4，点、分别在边、上，且，，若点在正方形的边上，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，建立平面直角坐标系，
则，，
当在上时，设，，
，
当时，，当时，，
即，
当在上时，设，则，
，知，
当在上时，设，，
，
当时，，当时，，
即，
当在上时，设，，
，
当时，，当时，，
即.
综上可得，，故选：C
【一隅三反】
1．（2022·贵州贵阳）在边长为2的正方形中，是的中点，则（       ）
A．2 B． C． D．4
【答案】A
【解析】在平面直角坐标系中以为原点，所在直线为轴建立坐标系，则，，，，所以，故选：A
2．（2022·广东·大埔县虎山中学高三阶段练****已知是边长为a的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（            ）
A． B． C． D．
【答案】