人教版高中数学5.3 平面向量的应用（精讲）（基础版）（解析版）.docx

5.3 平面向量的应用（精讲）（基础版）
考点呈现
例题剖析
考点一 证线段垂直
【例1-1】（2022·山西运城）在平面四边形ABCD中，，，则该四边形的面积为（       ）
A． B． C．13 D．26
【答案】C
【解析】∵，∴AC⊥BD，所以四边形ABCD面积为：.故选：C.
【例1-2】（2022·广东）如图，在正方形中，为对角线上任意一点（异于、两点），，，垂足分别为、，连接、，求证：.
【答案】见解析
【解析】设正方形的边长为，，则，，.，
，
，即.
【一隅三反】
1．（2022·四川省峨眉）若平面四边形ABCD满足：，，则该四边形一定是（       ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【答案】B
【解析】，,所以四边形ABCD为平行四边形，
, ，所以BD垂直AC，所以四边形ABCD为菱形.故选：B
2．（2022·福建·漳州三中）若O为所在平面内一点，且满足，则的形状为（       ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
【答案】B
【解析】中，
因与均为非零向量，则，即，是直角三角形.故选：B
3．（2022·上海）在中，，分别为边上的点，且．求证：．
【答案】证明见解析.
【解析】因为，．
由且，得，
所以.
考点二 夹角问题
【例2】（2022·全国·模拟预测）已知H为的垂心，若，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】依题意，，同理．
由H为△ABC的垂心，得，即，
可知，即．同理有，
即，可知，即，解得，
，又，所以．故选：C．
【一隅三反】
1．（2022·四川南充·三模（理））在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】建立如图直角坐标系，则,得,
所以，故选：D.
2．（2022·河南·南阳中学）直角三角形ABC中，斜边BC长为a，A是线段PE的中点，PE长为2a，当最大时，与的夹角是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，设与的夹角为，，所以，
因为A是线段PE的中点，PE长为2a，所以，，
又因为，所以
，
因为，所以，所以当时最大，此时，最大的值为.
故选：A.

3．（2022·福建省同安第一中学）在中，，，动点位于直线上，当
取得最小值时，的正弦值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】建立如图所示平面直角坐标系：
则,设，
因为动点位于直线上，直线的方程为：，
所以，
当时，取得最小值，此时，，
所以，
又因为，所以，故选：C.
考点三 线段长度
【例3-1】（2022·福建·福州三中）在平行四边形中，，则（       ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】B
【解析】由题意得|，由平行四边形的两条对角线的平方和等于四边的平方和，
得：，故选：
【例3-2】（2022·云南）已知的面积为，，，则AC边的中线的长为（       ）
A． B．3 C． D．4
【答案】C
【解析】根据正弦定理由，
因为，所以，或，
当时，,不符合三角形内角和定理，
当时，，因此,
因此，因为的面积为，
所以有，负值舍去，即，
由余弦定理可知：，
设边的中点为，所以有，因此
故选：C
【一隅三反】
1．（2022·云南师大附中）中，，∠A的平分线AD交边BC于D，已知，且，则AD的长为（       ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【解析】如图，过作交于，作交于，则，又，
所以，，所以，即，
又是的平分线，所以，而，所以，
，
，所以，故选：C．
2．（2022·全国·高三专题练****在中，，点满足，若，则
的值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取中点O，连接，

，即，M为BC边上靠近C的三等分点，
，
，，，
又，，.
故选：C.
3．（2022·重庆南开中学）如图所示在四边形中，是边长为4的等边三角形，，，，则（       ）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【解析】取的中点为，因为，故即，
故，所以三点共线，故与重合，所以，
故，解得或，
因为且，故，故，故选：C.
4．（2023·全国·高三专题练