人教版高中数学5.4 正、余弦定理（精讲）（提升版）（解析版）.docx

5.4 正、余弦定理（精讲）（提升版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 判断三角形的形状
【例1】（2022·全国·高三专题练****多选）已知，，分别是三个内角，，的对边，下列四个命题中正确的是（       ）
A．若，则是锐角三角形
B．若，则是等腰三角形
C．若，则是等腰三角形
D．若，则是等边三角形
【答案】ACD
【解析】对于A，因为，所以，
，
因为，，为的内角，所以，，都是锐角，所以是锐角三角形，故选项A正确；
对于B：由及正弦定理，可得，
即，所以或，所以或，
所以是等腰三角形或直角三角形，故选项B错；
对于C：由及正弦定理化边为角，
可知，即，
因为，为的内角，所以，所以是等腰三角形，故选项C正确；
对于D：由和正弦定理化边为角，易知，所以，因为，，为的内角，所以，所以是等边三角形，故选项D正确；故选：ACD.
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练****在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知，则△ABC的形状为（       ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【解析】∵，可得，∴，∴，
∵，∴，∴，∴为直角三角形，且，
故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练****设△的三边长为，，，若，，则△是（       ）．
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】设，△的内切圆半径为r，如图所示，
法一：
∴①；②.
①÷②，得：，即．
于是，
，，
从而得或，
∴或．故△为等腰三角形或直角三角形，
（1）当时，内心I在等腰三角形的底边上的高上，
，从而得．
又，代入①式，得，即，
上式两边同时平方，得：，化简，即．即△直角三角形，
∴△为等腰直角三角形．
（2）当时，易得．
代入②式，得，此式恒成立，
综上，△为直角三角形．
法二：
利用，及正弦定理和题设条件，得①，②.
∴③；④.
由③和④得：，即，，
因为为三角形内角，
∴或，即或．
（1）若，代入③得：⑤
又，将其代入⑤，得：．
变形得，
即⑥，
由知A为锐角，从而知．
∴由⑥，得：，即，从而，．
因此，△为等腰直角三角形．
（2）若，即，此时③④恒成立，
综上，△为直角三角形．
故选：B
3．（2022·全国·高三专题练****已知的三条边和与之对应的三个角满足等式则此三角形的形状是（       ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【解析】，可得，
整理，得，所以，
所以，所以，
所以，所以，
所以，所以或或，故三角形为等腰三角形.故选：A
4．（2022·全国·高三专题练****多选）设的三个内角，，所对的边分别为，，．下列有关等边三角形的四个命题中正确的是（       ）．
A．若，则是等边三角形
B．若，则是等边三角形
C．若，则是等边三角形
D．若，则是等边三角形
【答案】BCD
【解析】A，若，
由正弦定理可知：任意都满足条件，因此不一定是等边三角形，不正确；
B，若，由正弦定理可得：，∴，
∵，∴，∴是等边三角形，正确．
C，若，由正弦定理可得：，∴，
∵，∴，∴是等边三角形，正确．
D，若，∴，时，是等边三角形；
时，研究函数的单调性，
，时，，
∴函数在上单调递减，因此不成立．
综上可得：是等边三角形，正确．故选：BCD．
考点二 最值问题
【例2-1】（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（理））在中，角所对的边分别为，，，则面积的最大值是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由得：，
即，由正弦定理得：；
由余弦定理得：，，
即，，，
，
，，
，
则当时，，.故选：A.
【例2-2】（2022·江西·上饶市第一中学二模（文））在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若点D在边上，且，则的最大值是___________.
【答案】
【解析】由，得，因为，，所以，
设外接圆的圆心为，半径为，
则由正弦定理得，
如图所示，取的中点，
在中，；
在中，
，当且仅当圆心在上时取等号，所以的最大值是，
故答案为：．
【例2-3】（2022·黑龙江·哈尔滨三中二模）在锐角中，角A，B，C的对边